题目描述
设有 $N$ $×$ $N$ 的方格图 $($ $N$ $≤$ $9$ $)$ ，我们将其中的某些方格中填入正整数，而其他的方格中则放入数字 $0$ 。如下图所示（见样例）:
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6
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8
9
10
A
0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 13 0 0 6 0 0
0 0 0 0 7 0 0 0
0 0 0 14 0 0 0 0
0 21 0 0 0 4 0 0
0 0 15 0 0 0 0 0
0 14 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0
B
某人从图的左上角的 $A$ 点出发，可以向下行走，也可以向右走，直到到达右下角的 $B$ 点。在走过的路上，他可以取走方格中的数（取走后的方格中将变为数字 $0$ ）。
此人从 $A$ 点到 $B$ 点共走两次，试找出 $2$ 条这样的路径，使得取得的数之和为最大。
输入格式
输入的第一行为一个整数 $N$ （表示 $N$ $×$ $N$ 的方格图），接下来的每行有三个整数，前两个表示位置，第三个数为该位置上所放的数。一行单独的 $0$表示输入结束。
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2
3
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6
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9
10
11
样例输入:
8
2 3 13
2 6 6
3 5 7
4 4 14
5 2 21
5 6 4
6 3 15
7 2 14
0 0 0
输出格式
只需输出一个整数，表示 $2$ 条路径上取得的最大的和。
推状态转移方程
这是道很明显的多维 $DP$ 题目。因为是 $2$ 条路径，所以同时需要 $dp$两个点，使用四维数组。
定义一个四维数组，$\displaystyle dp[ i ][ j ][ k ][ l ]$的值表示第一条路径到点 $\displaystyle ( i , j )$ ，第二条路径到点$\displaystyle ( k , l )$时所取的最大数之和， 因为只能向下或向右行走，于是就能得到状态转移方程：
1
dp[ i ][ j ][ k ][ l ] = max(dp[ i-1 ][ j ][ k-1 ][ l ],dp[ i ][ j-1 ][ k ][ l-1 ],dp[ i-1 ][ j ][ k ][ l-1 ],dp[ i ][ j-1 ][ k-1 ][ l ]) + a[ i ][ j ]+a[ k ][ l ]
其中：$\displaystyle a[ i ][ j ]$代表点 $\displaystyle ( i , j )$上的数字大小
这里注意，第一条路径经过后会将格子中的数拿走，当 $i=k$ 且 $j=l$ 时，因为已经被第一条路径取走了，不需要再增加 $\displaystyle a[ k ][ l ]$ 的值。
蒟个栗子
还是看样例:
1
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8
9
10
A
0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 13 0 0 6 0 0
0 0 0 0 7 0 0 0
0 0 0 14 0 0 0 0
0 21 0 0 0 4 0 0
0 0 15 0 0 0 0 0
0 14 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0
B
通过四重循环，我们可以得到两条数字和最大的路径分别为，穿过 $13-14-4$ 和穿过 $21-15$ ，总和为 $67$ 。
代码实现
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#include <iostream>
using namespace std;
int a[12][12], dp[12][12][12][12], n, x, y, t;
int main()
{
cin >> n;
cin >> x >> y >> t;
while (x && y && t) // 若都为0则输入结束
{
a[x][y] = t;
cin >> x >> y >> t;
}
for (int i = 1; i <= n; i++) // 四重循环
for (int j = 1; j <= n; j++)
for (int k = 1; k <= n; k++)
for (int l = 1; l <= n; l++)
{
dp[i][j][k][l] = max(max(dp[i - 1][j][k - 1][l], dp[i][j - 1][k][l - 1]), max(dp[i - 1][j][k][l - 1], dp[i][j - 1][k - 1][l])) + a[i][j];
if (i != k && j != l) // 判断是否为同一点
dp[i][j][k][l] += a[k][l];
}
cout << dp[n][n][n][n] << endl;
return 0;
}
