数系构造

代数结构部分主要包括三个核心内容：

此外还包括数理逻辑的一部分内容。

二、从卷积看代数与分析的区别

2.1 序列的卷积

回顾两个实数序列 ${a_k}$ 和 ${b_k}$（$k = 0, 1, 2, \ldots$）的卷积（在数学分析中称为柯西乘积）。

卷积定义为新序列 ${c_n}$：

\[c_n = \sum_{i+j=n} a_i \cdot b_j = \sum_{i=0}^{n} a_i \cdot b_{n-i}\]

具体而言：

$c_0 = a_0 \cdot b_0$
$c_1 = a_0 \cdot b_1 + a_1 \cdot b_0$
$c_2 = a_0 \cdot b_2 + a_1 \cdot b_1 + a_2 \cdot b_0$

2.2 分析与代数的不同侧重

数学分析的视角：关注级数的收敛性。若两个级数 $\sum a_k$ 和 $\sum b_k$ 都收敛，则卷积级数 $\sum c_n$ 的值等于两个级数值的乘积：

\[\left(\sum_{k=0}^{\infty} a_k\right) \cdot \left(\sum_{k=0}^{\infty} b_k\right) = \sum_{n=0}^{\infty} c_n\]

只有收敛时才重点关注；发散则不再关心。

代数的视角：关注卷积作为二元运算本身的性质，不关心级数是否收敛。研究的是该运算与通常数的乘法之间有何类似之处。

2.3 卷积的幺元

考虑序列 $\mathbf{e} = (1, 0, 0, 0, \ldots)$，即 $e_0 = 1$，$e_k = 0$（$k \ge 1$）。

可以验证：对任意序列 ${a_k}$，

\[\mathbf{e} * \{a_k\} = \{a_k\} * \mathbf{e} = \{a_k\}\]

即 $\mathbf{e}$ 在卷积运算下的作用类似于数的乘法中 $1$ 的作用——与任何序列卷积后结果不变。

这种性质在一般代数结构中称为幺元（单位元），后面会严格定义。

在分析中，该序列对应的级数 $\sum e_k = 1$，值很简单，不会特别关注。但在代数中，它具有极其重要的地位。

2.4 卷积的逆元

考虑全 $1$ 序列 $\mathbf{u} = (1, 1, 1, 1, \ldots)$。

在分析中：对应级数 $\sum 1$ 发散，通常不予关注
在代数中：该序列也很重要

考虑序列 $\mathbf{v} = (1, -1, 0, 0, 0, \ldots)$，可以验证：

\[\mathbf{u} * \mathbf{v} = \mathbf{e} = (1, 0, 0, \ldots)\]

因为 $\mathbf{u} * \mathbf{v} = \mathbf{e}$，类比数的乘法中若 $a \cdot b = 1$ 则 $a$ 和 $b$ 互为倒数，可以不严格地写：

\[\mathbf{u}^{-1} = \mathbf{v}\]

严格记号为 $\mathbf{v} = \mathbf{u}^{-1}$，表示 $\mathbf{v}$ 是 $\mathbf{u}$ 在卷积运算下的逆元。

这与矩阵乘法类似：可逆矩阵 $A$ 有逆矩阵 $A^{-1}$，使得 $A \cdot A^{-1} = I$（单位矩阵）。

三、线性空间回顾

3.1 实数向量空间 $\mathbb{R}^n$

$\mathbb{R}^n$ 上定义两种运算：

加法：分量相加，$\mathbf{a} + \mathbf{b} = (a_1 + b_1, \ldots, a_n + b_n)$
数乘：$\lambda \cdot \mathbf{a} = (\lambda a_1, \ldots, \lambda a_n)$

记零向量为 $\mathbf{0} = (0, 0, \ldots, 0)$。

3.2 线性空间的八条公理

关于加法的四条（仅涉及加法，不涉及数乘）：

结合律：$(\mathbf{a} + \mathbf{b}) + \mathbf{c} = \mathbf{a} + (\mathbf{b} + \mathbf{c})$
零元：$\mathbf{0} + \mathbf{a} = \mathbf{a} + \mathbf{0} = \mathbf{a}$
逆元（负向量）：$\mathbf{a} + (-\mathbf{a}) = \mathbf{0}$，其中 $-\mathbf{a} = (-1) \cdot \mathbf{a}$
交换律：$\mathbf{a} + \mathbf{b} = \mathbf{b} + \mathbf{a}$

前三条（结合律 + 零元 + 逆元）用后面要讲的术语来说，就是加法构成一个群；再加上第四条交换律，则构成一个交换群（阿贝尔群）。

结合律比交换律更基本——矩阵乘法满足结合律但不满足交换律（阶 $\ge 2$ 时）。

关于数乘和分配律的四条：

分配律I：$\lambda(\mathbf{a} + \mathbf{b}) = \lambda \mathbf{a} + \lambda \mathbf{b}$
分配律II：$(\lambda + \mu)\mathbf{a} = \lambda \mathbf{a} + \mu \mathbf{a}$
数乘结合律：$\lambda(\mu \mathbf{a}) = (\lambda \mu) \mathbf{a}$
数乘单位元：$1 \cdot \mathbf{a} = \mathbf{a}$

线性空间的定义：一个集合上定义加法和数乘两种运算，若满足以上八条性质，则称该集合配上这两种运算构成实数上的一个线性空间（向量空间）。

这些性质之所以成立，归根到底是因为加法和数乘按分量运算，而实数的加法和乘法本身就满足结合律、交换律、分配律等。

后面讲到环和域时，线性空间的概念会被推广——不仅可以在实数上定义，在任何域甚至环上都可以定义线性空间。

四、二元关系与等价关系

4.1 二元关系的定义

给定两个集合 $X$ 和 $Y$，它们的笛卡尔积为：

\[X \times Y = \{(x, y) \mid x \in X,\ y \in Y\}\]

$X \times Y$ 的任何一个子集 $R$ 都称为从 $X$ 到 $Y$ 的一个二元关系。

4.2 二元关系的基本概念

设 $R$ 是一个二元关系：

原像集（定义域）：$\operatorname{dom}(R) = {x \mid \exists y,\ (x, y) \in R}$
像集（值域）：$\operatorname{ran}(R) = {y \mid \exists x,\ (x, y) \in R}$
逆关系：$R^{-1} = {(y, x) \mid (x, y) \in R}$
复合关系：给定关系 $R$ 和 $T$，

\[T \circ R = \{(a, c) \mid \exists b,\ (a, b) \in R \text{ 且 } (b, c) \in T\}\]

复合的顺序从右到左（与函数复合一致：先算内层 $R$，再算外层 $T$）。

4.3 逆与复合的重要性质

$(R^{-1})^{-1} = R$
$(T \circ R)^{-1} = R^{-1} \circ T^{-1}$
复合满足结合律：$(U \circ T) \circ R = U \circ (T \circ R)$

性质2与矩阵求逆类似：$(AB)^{-1} = B^{-1} A^{-1}$。

4.4 映射作为特殊的二元关系

函数（映射）是一种特殊的二元关系 $f$，满足：

\[\forall a, b_1, b_2,\quad (a, b_1) \in f \text{ 且 } (a, b_2) \in f \implies b_1 = b_2\]

即第一个分量相同时，第二个分量必须相同——一个原像只能对应一个像。

这种定义避免了”对应法则”这种直观但不够严格的说法，完全用集合元素的属于关系来刻画映射。

五、等价关系

5.1 等价关系的定义

设 $\sim$ 是集合 $X$ 上的一个二元关系（即 $\sim\ \subseteq X \times X$）。若 $\sim$ 满足以下三条性质，则称 $\sim$ 为 $X$ 上的等价关系：

自反性：$\forall x \in X,\quad x \sim x$
对称性：$\forall x, y \in X,\quad x \sim y \implies y \sim x$
传递性：$\forall x, y, z \in X,\quad x \sim y \text{ 且 } y \sim z \implies x \sim z$

对称性的重要性：对于一般的二元关系，$(a, b) \in R$ 完全没有理由保证 $(b, a) \in R$（因为有序对的相等要求分量对应相等）。例如大于关系 $>$ 就不满足对称性：$a > b$ 意味着 $b < a$，恰恰相反。

5.2 等价关系的例子

例1：整数按奇偶分类

在 $\mathbb{Z}$ 上定义：

\[a \sim b \iff 2 \mid (a - b)\]

即 $a$ 和 $b$ 同为奇数或同为偶数时等价。

例2：矩阵按秩分类

设 $M_{m \times n}(\mathbb{R})$ 为所有 $m \times n$ 实矩阵的集合，定义：

\[A \sim B \iff \operatorname{rank}(A) = \operatorname{rank}(B)\]

矩阵的秩：取 $m$ 行中极大线性无关组，若有 $k$ 行线性无关且每一行都可由这 $k$ 行线性表示，则 $\operatorname{rank}(A) = k$。

等价的另一种表述：$A \sim B$ 当且仅当存在可逆矩阵 $P$（$m$ 阶）和 $Q$（$n$ 阶），使得

\[B = PAQ\]

相抵标准形：若 $\operatorname{rank}(A) = k$，则

\[A = P \begin{pmatrix} I_k & O \\ O & O \end{pmatrix} Q\]

其中 $I_k$ 为 $k$ 阶单位矩阵。可通过初等行列变换求出。

5.3 等价类

给定等价关系 $\sim$ 和元素 $x \in X$，$x$ 的等价类定义为：

\[[x] = \{y \in X \mid x \sim y\}\]

即所有与 $x$ 等价的元素构成的集合。由对称性，$x \sim y$ 与 $y \sim x$ 等价，所以 $y$ 写在左边还是右边无所谓。

5.4 等价类的核心性质

命题：设 $\sim$ 是 $X$ 上的等价关系。则：

(i) $\forall x \in X,\quad x \in [x]$（每个元素属于自己的等价类）

(ii) $\forall a, b \in X$，以下三个论断等价：

$[a] \cap [b] \ne \varnothing$（两个等价类有公共元素）
$a \sim b$（$a$ 与 $b$ 等价）
$[a] = [b]$（两个等价类相等）

意义：第3条明显比第1条强（集合相等 $\implies$ 交集非空），但在等价关系下三者等价。这意味着：

任何两个不同的等价类一定不相交。等价关系将集合 $X$ 划分成若干互不相交的等价类，且完整覆盖整个集合。

证明：

$1 \Rightarrow 2$：设 $[a] \cap [b] \ne \varnothing$，取 $s \in [a] \cap [b]$。由 $s \in [a]$ 得 $a \sim s$；由 $s \in [b]$ 得 $b \sim s$，由对称性得 $s \sim b$。再由传递性：$a \sim s$ 且 $s \sim b \implies a \sim b$。

$2 \Rightarrow 3$：已知 $a \sim b$，证 $[a] = [b]$。

证明两个集合相等的标准方法是证明互相包含。

先证 $[a] \subseteq [b]$：任取 $x \in [a]$，则 $a \sim x$。由 $a \sim b$ 和对称性得 $b \sim a$，再由传递性 $b \sim a$ 且 $a \sim x \implies b \sim x$，故 $x \in [b]$。

$[b] \subseteq [a]$ 的证明类似（或由对称性直接得到）。

$3 \Rightarrow 1$：由 (i)，$a \in [a] = [b]$，故 $[a] \cap [b] \ne \varnothing$。$\blacksquare$

六、数系的构造

6.1 数系的层次

\[\mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{Q} \subset \mathbb{R} \subset \mathbb{C}\]

数系	名称	封闭的运算
$\mathbb{N}$	自然数	加法、乘法
$\mathbb{Z}$	整数	加法、减法、乘法
$\mathbb{Q}$	有理数	加、减、乘、除（除数 $\ne 0$）
$\mathbb{R}$	实数	四则运算 + 取极限
$\mathbb{C}$	复数	四则运算 + 取极限 + 多项式求根

6.2 扩充的动机

$\mathbb{N} \to \mathbb{Z}$：自然数对减法不封闭（如 $2 - 3$ 在 $\mathbb{N}$ 中无意义）
$\mathbb{Z} \to \mathbb{Q}$：整数对除法不封闭（如将5个物品平均分给3个人，需要 $\frac{5}{3}$）
$\mathbb{Q} \to \mathbb{R}$：有理数对取极限不封闭，且对开方不封闭。经典例子：
- $\sqrt{2}$ 是无理数（反证法：设 $\frac{a}{b}$ 为最简分数且 $\left(\frac{a}{b}\right)^2 = 2$，可推出 $a, b$ 都是偶数，矛盾）
- $e = \lim_{n \to \infty} \left(1 + \frac{1}{n}\right)^n$ 是无理数，但它是一列有理数的极限
- 有理数是可数集合，实数是不可数集合，有理数在数轴上有很多”空隙”
$\mathbb{R} \to \mathbb{C}$：实数上多项式 $x^2 + 1 = 0$ 无解，引入 $i = \sqrt{-1}$ 后在 $\mathbb{C}$ 中有根 $\pm i$

有理数 $\mathbb{Q}$ 已经构成一个域（对加减乘除封闭，每个非零元素都有乘法逆元）。

6.3 多项式求根与群的起源

二次方程：有求根公式（很早已知）
三次方程 $x^3 + px + q = 0$：17世纪欧洲数学家找到了求根公式（过程中出现负数开平方，促进了复数概念的发展）
四次方程 $x^4 + px^2 + qx + r = 0$：通过巧妙方法归结为三次方程求解（公式非常长）
五次及以上：最初猜测也有求根公式，但始终找不到。约一百多年后，通过群的概念，证明了五次及以上一般多项式不存在用加减乘除和开方表示的求根公式

这正是群论和伽罗瓦理论的核心成果，也是本课程即将学习的内容之一。

代数与分析的分野：从序列卷积到数系构造