一、数学的公理化基础
1.1 概念的层次结构
数学概念之间存在层次关系，后面的概念依赖于前面的概念：
\[\text{导数} \longleftarrow \text{函数极限} \longleftarrow \text{实数及其运算} \longleftarrow \text{有理数} \longleftarrow \text{自然数}\]- 导数由函数极限定义
- 函数极限需要先知道什么是实数以及实数的加减法
- 实数比函数极限更基本
- 更基本的是有理数，再往下是自然数
但不可能无穷无尽地追溯，总需要承认一些最基本的事实——这就是公理。
1.2 公理集合论
康托尔 (Cantor) 在19世纪中叶提出集合论，最初是为了研究无穷大、比较集合的大小（可数集与不可数集）。在此基础上，之前的很多数学理论都可以归纳到集合论的框架下。但朴素集合论也产生了一些悖论。
20世纪初，策梅洛 (Zermelo) 和弗兰克尔 (Fraenkel) 建立了公理集合论（约1908年），给出了8到9条公理（即 ZF 或 ZFC 公理系统），修正了朴素集合论中的问题。
这些公理保证了：
- 集合的交、并运算（包括无限多个集合的交并）
- 自然数的存在
- 数学归纳法的正确性
现代数学基本上都可以建立在公理集合论的体系之下。
二、自然数的构造
从集合论公理出发，自然数的构造如下：
\[0 := \varnothing\] \[1 := \{0\} = \{\varnothing\}\]一般地，若 $n$ 已定义好，则：
\[n + 1 := n \cup \{n\}\]注意左边的”$n+1$”此时还没有定义加法，它只是一个记号；右边的 $n \cup {n}$ 是集合论公理所允许的基本操作。
通过这种方式严格地构造了自然数。在此基础上再定义加法、乘法和大小关系。
关于”$0$ 等于空集”：中学时一般说这不对，但在集合论的基础中，这恰恰是最基本的一条定义。
三、从自然数构造整数
3.1 动机
自然数对减法不封闭：$3 - 2 = 1$ 有意义（因为 $1 + 2 = 3$），但 $2 - 3$ 在自然数中无意义（找不到自然数 $x$ 使得 $x + 3 = 2$）。
3.2 构造方法
在 $\mathbb{N} \times \mathbb{N}$（自然数有序对的集合）上定义等价关系：
\[(a, b) \sim (c, d) \iff a + d = b + c\]直观理解：将有序对 $(a, b)$ 看作 “$a - b$”，则上面的等价关系就是 $a - b = c - d$，即 $a + d = b + c$。
3.3 等价类的代表元
- 若 $a \ge b$，则 $(a, b) \sim (a - b,\ 0)$
- 若 $a \le b$，则 $(a, b) \sim (0,\ b - a)$
因此每个等价类都有形如 $(c, 0)$ 或 $(0, c)$ 的代表元（$c \in \mathbb{N}$）：
- $(c, 0)$ 对应正整数 $c$（即 “$c - 0 = c$”）
- $(0, c)$ 对应负整数 $-c$（即 “$0 - c = -c$”）
- $(0, 0)$ 对应 $0$
3.4 整数的定义
\[\mathbb{Z} := \mathbb{N} \times \mathbb{N} / {\sim} = \{[(a, b)] \mid a, b \in \mathbb{N}\}\]即所有等价类构成的集合。
3.5 运算的定义
加法：
\[[(a, b)] + [(c, d)] := [(a + c,\ b + d)]\]直观理解：$(a - b) + (c - d) = (a + c) - (b + d)$。
乘法：
\[[(a, b)] \cdot [(c, d)] := [(ac + bd,\ ad + bc)]\]直观理解：$(a - b)(c - d) = (ac + bd) - (ad + bc)$。
3.6 良定义性与运算律
定义等价类上的运算时，需要验证良定义性（well-definedness）：若 $(a, b) \sim (a’, b’)$ 且 $(c, d) \sim (c’, d’)$，则运算结果的等价类不变。即代表元的选取不影响结果。
运算律（交换律、结合律、分配律等）均可验证，且都依赖于自然数运算律的成立：
- 整数加法的交换律 $\longleftarrow$ 自然数加法的交换律
- 整数加法的结合律 $\longleftarrow$ 自然数加法的结合律
- 整数乘法关于加法的分配律 $\longleftarrow$ 自然数的分配律
3.7 自然数嵌入整数
每个自然数 $c$ 对应整数 $[(c, 0)]$，新增的部分 $[(0, c)]$（$c > 0$）即为负整数。
也可以”直接在自然数前面加负号”来理解，但从公理化角度看，”有序对+等价类”才是严格的做法，而人为添加负号符号并不是公理体系允许的基本操作。
四、从整数构造有理数
4.1 动机
整数对除法不封闭：$\frac{1}{2}$ 在整数中无意义。
4.2 构造方法
在 $\mathbb{Z} \times (\mathbb{Z} \setminus {0})$（第二个分量非零）上定义等价关系：
\[(a, b) \sim (c, d) \iff a \cdot d = b \cdot c\]直观理解：将 $(a, b)$ 看作 $\frac{a}{b}$，则 $\frac{a}{b} = \frac{c}{d} \iff ad = bc$（交叉相乘）。
4.3 有理数的定义
\[\mathbb{Q} := \mathbb{Z} \times (\mathbb{Z} \setminus \{0\}) / {\sim}\]用熟悉的记号：等价类 $[(a, b)]$ 记为 $\frac{a}{b}$。
4.4 运算的定义
加法：
\[\frac{a}{b} + \frac{c}{d} := \frac{ad + bc}{bd}\]乘法：
\[\frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d} := \frac{ac}{bd}\]同样需要验证良定义性和运算律。乘法的交换律源于整数乘法的交换律（$bd = db$，$ac = ca$）。
4.5 整数嵌入有理数
每个整数 $a$ 对应有理数 $\frac{a}{1}$。
4.6 除法封闭
对每个 $a \in \mathbb{Z}$（$a \ne 0$），存在 $\frac{1}{a} \in \mathbb{Q}$，使得 $\frac{1}{a} \cdot a = 1$。
有理数已经构成一个域——对加减乘除四则运算封闭。
这个从整数（环）构造有理数（域）的方法，是代数中从一个整环构造其分式域的标准做法，后面还会回到这个例子。
五、从有理数构造实数
5.1 动机
有理数对四则运算已经封闭，但：
- 对开方不封闭：$\sqrt{2}$ 是无理数（经典反证法：设 $\left(\frac{a}{b}\right)^2 = 2$ 且 $\gcd(a,b) = 1$，可推出 $a, b$ 都是偶数，矛盾）
- 对取极限不封闭：$e = \lim_{n \to \infty}\left(1 + \frac{1}{n}\right)^n$ 是无理数，但它是一列有理数的极限
- 有理数是可数集，实数是不可数集，这次扩充”扩了非常多”
5.2 两种经典构造方法
方法一：基本有理数列（Cauchy 列）
定义：有理数列 ${a_k}$（$k \in \mathbb{N}$）称为基本有理数列（Cauchy 列），若
\[\forall \varepsilon \in \mathbb{Q}^+,\quad \exists M \in \mathbb{N},\quad \forall m, n \ge M:\quad |a_m - a_n| < \varepsilon\]其中 $\mathbb{Q}^+ = {q \in \mathbb{Q} \mid q > 0}$，大于零的定义为分子分母同号。
这与数学分析中 Cauchy 列的定义形式相同，但注意这里一切都在有理数范围内。
等价关系：两个基本有理数列 ${a_k}$ 和 ${b_k}$ 等价，当且仅当
\[\lim_{k \to \infty} (b_k - a_k) = 0\]| 即 $\forall \varepsilon \in \mathbb{Q}^+,\ \exists M \in \mathbb{N},\ \forall n \ge M:\ | b_n - a_n | < \varepsilon$。 |
实数的定义：
\[\mathbb{R} := \{\text{基本有理数列}\} / {\sim}\]运算：
\[[a_k] + [b_k] := [a_k + b_k], \qquad [a_k] \cdot [b_k] := [a_k \cdot b_k]\]即对应分量相加/相乘，非常直观。
序关系：$[a_k] < [b_k]$ 当且仅当
\[\exists \varepsilon \in \mathbb{Q}^+,\quad \exists M \in \mathbb{N},\quad \forall k \ge M:\quad b_k \ge a_k + \varepsilon\]即从某项起，$b_k$ 比 $a_k$ 大出一个正的下界 $\varepsilon$。
有理数嵌入实数：每个有理数 $a$ 对应常数列 $(a, a, a, \ldots)$ 所在的等价类。
直观理解：例如 $\pi = 3.14159\ldots$ 对应基本有理数列 $3,\ 3.1,\ 3.14,\ 3.141,\ 3.1415,\ \ldots$
优点：加法、乘法、序的定义都很直观。
方法二：Dedekind 分割
定义：$\mathbb{Q}$ 的非空子集 $A$ 称为一个 Dedekind 分割，若满足：
- $A \ne \varnothing$ 且 $A \ne \mathbb{Q}$（$A$ 是 $\mathbb{Q}$ 的真子集）
- $\forall b \in A,\quad \forall a \in \mathbb{Q}:\ a < b \implies a \in A$（$A$ 是”下闭”的：$b$ 在 $A$ 中，则所有小于 $b$ 的有理数也在 $A$ 中）
- $A$ 中没有最大元素
例：
- $A = {x \in \mathbb{Q} \mid x < 1}$ 是 Dedekind 分割（满足三条，没有最大元素，因为对任意 $x < 1$ 有 $x < \frac{x+1}{2} < 1$）
- $A = {x \in \mathbb{Q} \mid x \le 1}$ 不是 Dedekind 分割（最大元素为 $1$，不满足第3条）
实数的定义：
\[\mathbb{R} := \{A \subseteq \mathbb{Q} \mid A \text{ 是 Dedekind 分割}\}\]序关系：
\[A \le B \iff A \subseteq B\]大小关系就是集合的包含关系——极其简洁。
加法：
\[A + B := \{a + b \mid a \in A,\ b \in B\}\]将集合上的运算推广到子集上，这在代数中也是常见操作。乘法的定义相对复杂，这里略去。
优点：确界存在定理的证明非常简单。
5.3 确界存在定理（Dedekind 分割下的证明）
定理：$\mathbb{R}$ 的任何非空有上界的子集 $X$ 都有上确界。
证明：令 $B = \bigcup_{A \in X} A$（将 $X$ 中所有成员取并集）。
验证 $B$ 是 Dedekind 分割：
- 非空：$X \ne \varnothing$，每个 $A \in X$ 非空，故 $B$ 非空。真子集：$X$ 有上界 $D$（即 $\forall A \in X,\ A \subseteq D$），故 $B \subseteq D \subsetneq \mathbb{Q}$。
- 下闭：任取 $b \in B$，则 $b$ 在某个 $A \in X$ 中。由 $A$ 的下闭性，所有小于 $b$ 的有理数都在 $A$ 中，从而在 $B$ 中。
- 无最大元：若 $B$ 有最大元 $b$，则 $b$ 在某个 $A$ 中，但 $A$ 无最大元，矛盾。
$B$ 是 $X$ 的上界：每个 $A \in X$ 都是 $B$ 的子集（并的性质），即 $A \subseteq B$。
$B$ 是最小上界：若 $D$ 是 $X$ 的另一个上界（即 $\forall A \in X,\ A \subseteq D$），则 $B = \bigcup A \subseteq D$。$\blacksquare$
从 Cauchy 列的构造出发证明确界存在定理则要麻烦得多。这是 Dedekind 分割的最大优势。
5.4 两种构造的等价性
两种构造得到的”实数”作为集合当然不同，但可以构造一个保持加法、乘法和序关系的一一对应（同构映射）：
\[[a_k] \longmapsto \{x \in \mathbb{Q} \mid \exists k,\ x < a_k\}\]即将基本有理数列映射到”所有被数列某一项所控制的有理数”构成的集合（一个 Dedekind 分割）。
这个映射与代表元选取无关、是双射、且保持加法乘法和序，因此两种构造在代数意义上是同一个对象。
5.5 用有理数逼近实数
实数就是从有理数构造出来的，所以用有理数逼近实数是最基本、最自然的操作——比如 $\pi$ 可以用 $3,\ 3.1,\ 3.14,\ 3.141,\ \ldots$ 逐步逼近。许多分析中的论证都依赖于此。
六、从实数构造复数
6.1 动机
实数上多项式 $x^2 + 1 = 0$ 无解。引入虚数单位 $i = \sqrt{-1}$ 后，复数域上所有 $n$ 次多项式（$n \ge 1$）都恰好有 $n$ 个根（计重数）。
6.2 几何直观
- 实数对应数轴上的点
- 复数对应平面（复平面）上的点：$x$ 轴为实部，$y$ 轴为虚部
6.3 复数的运算
将复数表示为有序对 $(a, b)$，对应 $a + bi$。
加法（分量相加）：
\[(a, b) + (c, d) = (a + c,\ b + d)\]乘法（利用 $i^2 = -1$）：
\[(a, b) \cdot (c, d) = (ac - bd,\ ad + bc)\]验证：$(a + bi)(c + di) = ac + adi + bci + bdi^2 = (ac - bd) + (ad + bc)i$。
6.4 复数的序
复数上无法自然地延续实数的大小关系。
例如，若按分量定义 $(a, b) \le (c, d) \iff a \le c$ 且 $b \le d$，则 $1 = (1, 0)$ 与 $i = (0, 1)$ 不可比较（实部 $1 > 0$，虚部 $0 < 1$）。
虽然可以在复数上定义很多种序，但没有一种能自然地拓展实数上的全序关系。因此通常笼统地说”复数不能比大小”。
6.5 用矩阵表示复数
考虑如下形式的 $2 \times 2$ 实矩阵：
\[\mathcal{C}_1 = \left\{ \begin{pmatrix} a & -b \\ b & a \end{pmatrix} \bigg| \ a, b \in \mathbb{R} \right\}\]令 $(a, b) \longleftrightarrow \begin{pmatrix} a & -b \ b & a \end{pmatrix}$，可以验证：
加法一致：
\[\begin{pmatrix} a & -b \\ b & a \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} c & -d \\ d & c \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a+c & -(b+d) \\ b+d & a+c \end{pmatrix}\]乘法一致：
\[\begin{pmatrix} a & -b \\ b & a \end{pmatrix} \begin{pmatrix} c & -d \\ d & c \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} ac-bd & -(ad+bc) \\ ad+bc & ac-bd \end{pmatrix}\]行列式对应模的平方：
\[\det \begin{pmatrix} a & -b \\ b & a \end{pmatrix} = a^2 + b^2 = |a + bi|^2\]虚数单位对应矩阵 $\begin{pmatrix} 0 & -1 \ 1 & 0 \end{pmatrix}$：
\[\begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}^2 = \begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix} = -I\]即该矩阵的平方等于负单位矩阵，对应 $i^2 = -1$。
因此，复数可以完全用 $2 \times 2$ 实矩阵来实现。