一、群的定义
1.1 正式定义
定义：设 $G$ 是非空集合，$*$ 是 $G$ 上的二元运算。若 $(G, *)$ 满足以下三条，则称其为一个群：
- 结合律：$\forall a, b, c \in G,\quad (a * b) * c = a * (b * c)$
- 幺元：$\exists\, e \in G,\quad \forall a \in G:\quad e * a = a * e = a$
- 逆元：$\forall a \in G,\quad \exists\, a^{-1} \in G:\quad a * a^{-1} = a^{-1} * a = e$
简言之：群 = 有幺元且每个元素都有逆元的半群。
1.2 关于定义的说明
幺元唯一：上节课已证，若左幺元和右幺元都存在则相等，因此幺元（如果存在）一定唯一。
左幺元不一定有右幺元：考虑定义 $a * b := b$（永远保留右边的元素）。
- 结合律成立：$(a * b) * c = c$，$a * (b * c) = c$
- 每个元素都是左幺元（$x_0 * a = a$ 对任意 $a$ 成立）
-
但当 $ X \ge 2$ 时没有右幺元（不存在 $x_0$ 使得 $a * x_0 = a$ 对所有 $a$ 成立）
这说明即使有结合律，单边幺元也可能不唯一、且另一边可能不存在。群的定义要求双侧幺元，回避了这类情况。
1.3 逆元的记号
在乘法群中，$a$ 的逆元记为 $a^{-1}$。最直观的例子：非零实数 $a$ 在乘法下的逆元就是 $\frac{1}{a}$。
在加法群中，$a$ 的逆元记为 $-a$（相反数）。
二、逆元的唯一性
2.1 消去律
命题：设 $(S, *)$ 是有幺元 $e$ 的半群。若 $a * b = e$ 且 $b * c = e$，则 $a = c$。
证明：
\[a = a * e = a * (b * c) = (a * b) * c = e * c = c \qquad \blacksquare\]关键步骤：利用结合律和幺元的性质。
2.2 群中逆元唯一
推论：群中每个元素的逆元唯一。
证明：若 $b_1, b_2$ 都是 $a$ 的逆元，则 $a * b_1 = e$ 且 $b_2 * a = e$。由上述命题取 $b = a$，得 $b_2 = b_1$。$\blacksquare$
因此记号 $a^{-1}$ 是良定义的——不存在歧义。
类比：可逆矩阵的逆矩阵唯一。用矩阵乘法定义逐项验证很繁琐，但用抽象的群论证明立即得到。
三、群的例子
3.1 数的加法群
| 群 | 幺元 | $a$ 的逆元 |
|---|---|---|
| $(\mathbb{Z}, +)$ | $0$ | $-a$ |
| $(\mathbb{Q}, +)$ | $0$ | $-a$ |
| $(\mathbb{R}, +)$ | $0$ | $-a$ |
| $(\mathbb{C}, +)$ | $0$ | $-a$ |
$(\mathbb{Z}, +)$ 是 $(\mathbb{R}, +)$ 的一部分，这引出了子群的概念。
3.2 数的乘法群
| 群 | 幺元 | $a$ 的逆元 |
|---|---|---|
| $(\mathbb{Q} \setminus {0},\ \times)$ | $1$ | $\frac{1}{a}$ |
| $(\mathbb{R} \setminus {0},\ \times)$ | $1$ | $\frac{1}{a}$ |
| $(\mathbb{R}^+,\ \times)$ | $1$ | $\frac{1}{a}$ |
必须去掉 $0$：$0$ 没有乘法逆元（$0$ 乘任何数都是 $0$，不可能等于 $1$）。
3.3 对数函数是群同构
$(\mathbb{R}^+, \times)$ 与 $(\mathbb{R}, +)$ 之间存在对数映射：
\[\ln: (\mathbb{R}^+, \times) \to (\mathbb{R}, +)\]满足 $\ln(xy) = \ln x + \ln y$（将乘法转换为加法）。
这个映射是双射且保持运算，因此这两个群是同构的——从群的角度看完全相同。同构的概念后面会正式定义。
3.4 模 2 加法群
集合 ${0, 1}$，运算为模 2 加法 $\oplus$（异或）：
| $\oplus$ | $0$ | $1$ |
|---|---|---|
| $0$ | $0$ | $1$ |
| $1$ | $1$ | $0$ |
- 幺元：$0$
- 逆元：$0^{-1} = 0$，$1^{-1} = 1$（每个元素是自己的逆元，因为 $1 \oplus 1 = 0$）
推广到 $n$ 维：设 $n$ 为正整数，在 ${0, 1}^n$ 上按分量做模 2 加法：
\[(a_1, \ldots, a_n) \oplus (b_1, \ldots, b_n) = (a_1 \oplus b_1, \ldots, a_n \oplus b_n)\]- 结合律从模 2 加法继承
- 幺元：$(0, 0, \ldots, 0)$
- 逆元：每个元素的逆元是自身（$\mathbf{a} \oplus \mathbf{a} = \mathbf{0}$，因为每个分量模 2 后为 $0$）
满足”每个元素是自己的逆元”这种条件的群并不多见。
3.5 集合的对称差群
设 $Y$ 为非空集合，$\mathcal{P}(Y)$ 为 $Y$ 的幂集（全体子集），运算为对称差 $\triangle$：
\[A \triangle B = (A \setminus B) \cup (B \setminus A)\]- 结合律：已验证
- 幺元：$\varnothing$（$A \triangle \varnothing = A$）
- 逆元：每个集合是自己的逆元（$A \triangle A = \varnothing$）
| $(\mathcal{P}(Y), \triangle)$ 与 $({0,1}^n, \oplus)$ 实际上是同构的（当 $ | Y | = n$ 时，子集对应特征向量）。 |
3.6 一般线性群 $GL_n(\mathbb{R})$
\[GL_n(\mathbb{R}) = \{A \in M_n(\mathbb{R}) \mid \det A \ne 0\}\]即全体 $n$ 阶可逆实方阵，在矩阵乘法下构成群。
- 封闭性：两个可逆矩阵的乘积仍可逆（$\det(AB) = \det A \cdot \det B \ne 0$）
- 结合律：矩阵乘法有结合律
- 幺元：$I_n$（$n$ 阶单位矩阵）
- 逆元：$A^{-1} = \frac{1}{\det A} A^$（$A^$ 为伴随矩阵）
$(A^*){ij} = (-1)^{i+j} M{ji}$，其中 $M_{ji}$ 是划去第 $j$ 行第 $i$ 列后的 $(n-1)$ 阶行列式。
实际求逆矩阵时，用初等行变换 $(A \mid I_n) \to (I_n \mid A^{-1})$ 更高效。二、三阶矩阵的求逆要求掌握。
注意 $M_n(\mathbb{R})$（全体 $n$ 阶实方阵）在乘法下不是群（$n \ge 2$ 时存在不可逆矩阵）。
四、群的基本性质
4.1 乘积的逆
命题：设 $(G, *)$ 是群，$a, b \in G$，则
\[(a * b)^{-1} = b^{-1} * a^{-1}\]注意顺序要颠倒！（类比矩阵：$(AB)^{-1} = B^{-1}A^{-1}$）
证明：
\[(a * b) * (b^{-1} * a^{-1}) = a * (b * b^{-1}) * a^{-1} = a * e * a^{-1} = a * a^{-1} = e \qquad \blacksquare\]为什么不是 $a^{-1} * b^{-1}$：因为群的运算不一定满足交换律。验证 $a^{-1} * b^{-1}$ 时，中间步骤无法化简（$b^{-1} * a$ 一般不等于幺元）。
推广（归纳法可证）：
\[(a_1 * a_2 * \cdots * a_n)^{-1} = a_n^{-1} * \cdots * a_2^{-1} * a_1^{-1}\]换位子：元素 $a^{-1} * b^{-1} * a * b$ 称为 $a$ 和 $b$ 的换位子（commutator）。它等于幺元当且仅当 $ab = ba$，因此换位子衡量了两个元素”不交换的程度”。
4.2 逆元的逆元
命题：$(a^{-1})^{-1} = a$
证明：由 $a^{-1} * a = e$ 和 $a * a^{-1} = e$，从 $a^{-1}$ 的角度看，$a$ 就是 $a^{-1}$ 的逆元。$\blacksquare$
类比：一个数取两次相反数回到自身；$-(-(a-b)) = a - b$。
五、对称群
5.1 定义
设 $X$ 为非空集合。$X$ 上的全体双射（自身到自身的一一映射）在映射复合下构成群，称为 $X$ 上的对称群：
\[\operatorname{Sym}(X) = \{f: X \to X \mid f \text{ 是双射}\}\]也记为 $S_X$ 或 $S(X)$。
5.2 验证群公理
- 封闭性：两个双射的复合仍是双射
- 结合律：映射复合有结合律（$(f \circ g)(x) = f(g(x))$）
- 幺元：恒等映射 $\operatorname{id}_X$（$\operatorname{id}_X(x) = x$）
- 逆元：$f$ 的逆映射 $f^{-1}$（若 $f(a) = b$，则 $f^{-1}(b) = a$）
必须取双射：
- 单射：不同的原像映到不同的像（$f(x_1) = f(x_2) \implies x_1 = x_2$）
- 满射：像集充满整个 $X$（$\forall b \in X,\ \exists a \in X:\ f(a) = b$）
- 只有双射才有逆映射（仍是 $X$ 到 $X$ 的映射）
逆映射的理解：将映射的”箭头”全部反向。
5.3 对称群的重要性
对称群是群论最早研究的对象之一。群的概念正是从研究置换（即有限集上的双射）中抽象出来的。
Cayley 定理指出：任何群都可以看成某个对称群的子群。因此对称群具有极强的代表性。
六、群的历史简介
6.1 群论的起源
- 群的抽象概念出现于 1820 年代（比微积分晚约150年）
- 最早的动机是研究多项式方程的求解（Galois 理论）
- 对称群是最早被研究的群的类型之一
- 第一本群论专著：Burnside（英国数学家）的 Theory of Groups of Finite Order（约1900年）
| 群的阶（order）= 群的元素个数（$ | G | $）。有限群即阶为有限的群。 |
6.2 中国的群论研究
- 1930 年代开始，华罗庚和段学复是最早研究群论的中国数学家
- 早期关注 $p$-群（阶为素数幂 $p^n$ 的群），研究子群的数量和结构
- 抗战期间条件艰苦，但研究持续进行
- 中国第一本群论专著：张远达（武汉大学）著，约1982年出版
6.3 群的等价定义
有些教材（如张远达的书）用更弱的条件定义群：
- 结合律
- 存在左幺元 $e$：$e * x = x$
- 每个元素有左逆元：$x^{-1} * x = e$
这与标准的定义（双侧幺元 + 双侧逆元）是等价的——由左侧条件可以推出右侧也成立。这个推导是一个有意义的练习题。