子群生成

一、群的消去律与移项

1.1 动机

在数的运算中，若 $a + b = a + c$，则 $b = c$（两边同时加 $-a$）。这在群中也成立，本质原因是群中每个元素有逆元。

1.2 命题

设 $(G, *)$ 是群，$a, x, y \in G$，则：

左右乘逆：$a * (a^{-1} * x) = x$，$(x * a^{-1}) * a = x$
消去律：
- $a * x = a * y \implies x = y$（左消去）
- $x * a = y * a \implies x = y$（右消去）
移项：若 $a * x = y$，则 $x = a^{-1} * y$，$a = y * x^{-1}$

注意左消去和右消去要分开写，因为群的运算不一定满足交换律。

1.3 证明（第1条）

\[a * (a^{-1} * x) = (a * a^{-1}) * x = e * x = x\]

用到了结合律、逆元定义、幺元定义。

1.4 消去律是群的特有性质

反例：$M_2(\mathbb{R})$（$2 \times 2$ 实矩阵）在乘法下是半群但不是群。取

\[A = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}, \quad B = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}, \quad C = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}\]

则 $AB = AC = \begin{pmatrix} 0 & 0 \ 0 & 0 \end{pmatrix}$，但 $B \ne C$。

因此消去律在一般半群中不成立（$A$ 不可逆时无法左乘 $A^{-1}$）。矩阵乘法与数的乘法的本质区别之一：两个非零矩阵的乘积可以为零矩阵。

二、子群的定义

2.1 子结构的思想

研究一个结构时，考察其子结构是离散数学的核心思路：

集合 $\to$ 子集
图 $\to$ 子图
线性空间 $\to$ 子空间（对加法和数乘封闭）
群 $\to$ 子群

2.2 定义

定义：设 $(G, *)$ 是群，$H \subseteq G$，$H \ne \varnothing$。若 $(H, *)$ 在同一运算下也构成群，则称 $H$ 是 $G$ 的子群，记为 $H \le G$。

2.3 子群的等价判定条件

命题：设 $(G, *)$ 是群，$H \subseteq G$。以下三条等价：

$(H, *)$ 是 $G$ 的子群（原始定义）
$H \ne \varnothing$，且 $\forall a, b \in H:\ a * b \in H$ 且 $a^{-1} \in H$（两步判别法：对运算和求逆封闭）
$H \ne \varnothing$，且 $\forall a, b \in H:\ a * b^{-1} \in H$（一步判别法）

许多教材直接用条件2或条件3作为子群的定义。

2.4 为什么条件可以简化

从群的定义出发，子群需要满足：封闭性、结合律、有幺元、有逆元。

结合律：自动成立（$H \subseteq G$，$G$ 中的结合律直接继承）
幺元：$H$ 的幺元 $e_H$ 一定等于 $G$ 的幺元 $e_G$

证明：$e_H * e_H = e_H$（$e_H$ 是 $H$ 的幺元），同时 $e_H * e_G = e_H$（$e_G$ 是 $G$ 的幺元）。由消去律得 $e_H = e_G$。

因此”$H$ 有幺元”等价于”$e_G \in H$”。
逆元：若 $a \in H$，则 $H$ 中 $a$ 的逆元就是 $G$ 中 $a$ 的逆元 $a^{-1}$

证明：设 $b \in H$ 满足 $a * b = e_G$，则 $a * b = a * a^{-1}$，由消去律得 $b = a^{-1}$。

因此”$H$ 中每个元素有逆元”等价于”$\forall a \in H,\ a^{-1} \in H$”。

综合以上，子群 $\iff$ 对运算封闭 + $e_G \in H$ + 对求逆封闭 $\iff$ 条件2。

条件2与条件3的等价性留作练习。提示：由条件3取 $a = b$ 得 $e \in H$，再取 $a = e$ 得 $b^{-1} \in H$。

2.5 子群的交

命题：任意一族子群的交仍是子群。

\[\text{若每个 } H_i \le G\ (i \in I), \quad \text{则 } \bigcap_{i \in I} H_i \le G\]

$I$ 可以是任意指标集（有限、可数、甚至不可数）。

证明：

$e_G \in H_i$（每个子群都含幺元），故 $e_G \in \bigcap H_i$（非空）
若 $a, b \in \bigcap H_i$，则对每个 $i$：$a, b \in H_i$，由 $H_i$ 是子群得 $ab \in H_i$ 且 $a^{-1} \in H_i$
故 $ab \in \bigcap H_i$，$a^{-1} \in \bigcap H_i$。$\blacksquare$

类比：任意多个子空间的交仍是子空间。但子群的并一般不是子群。

关于子群的并（思考题）：若 $H_1 \cup H_2$ 是子群，则必有 $H_1 \subseteq H_2$ 或 $H_2 \subseteq H_1$（即两个子群之间有包含关系时，并才是子群）。

三、整数加法群的子群

3.1 平凡子群

任何群 $G$ 都有两个平凡子群：

最大子群：$G$ 本身
最小子群：${e}$（仅含幺元）

若 $G$ 只有这两个子群，则 $

= 1$ 或 $

$ 是素数（后面会证明）。

3.2 带余除法

定理（带余除法）：设 $a$ 为正整数，$b$ 为整数，则存在唯一的整数 $q$（商）和整数 $r$（余数），满足：

\[b = qa + r, \qquad 0 \le r \le a - 1\]

3.3 整数加法群子群的完全分类

定理：$(\mathbb{Z}, +)$ 的子群恰好是如下形式的集合：

\[b\mathbb{Z} = \{qb \mid q \in \mathbb{Z}\} \qquad (b \in \mathbb{N})\]

即某个自然数 $b$ 的全体整数倍。

第一部分（$b\mathbb{Z}$ 是子群）：

$0 = 0 \cdot b \in b\mathbb{Z}$（含幺元）
若 $c = pb,\ d = qb \in b\mathbb{Z}$，则 $c + d = (p+q)b \in b\mathbb{Z}$（对加法封闭）
$-c = (-p)b \in b\mathbb{Z}$（对取反封闭）

第二部分（每个子群都有此形式）：设 $H \le (\mathbb{Z}, +)$。

情形1：若 $H = {0}$，取 $b = 0$ 即可。

情形2：若 $H \ne {0}$，则 $H$ 中存在正整数（若 $h \in H$ 且 $h \ne 0$，则 $h$ 或 $-h$ 为正，而 $-h \in H$）。

取 $b$ 为 $H$ 中最小的正整数（由自然数的良序性保证存在）。

$b\mathbb{Z} \subseteq H$：$b \in H$，由子群对加法封闭，$2b = b + b \in H$，归纳得 $kb \in H$（$\forall k \in \mathbb{N}$），再由对取反封闭得 $-kb \in H$，故所有 $b$ 的整数倍都在 $H$ 中。
$H \subseteq b\mathbb{Z}$：任取 $a \in H$，对 $a$ 用 $b$ 做带余除法：$a = qb + r$，$0 \le r < b$。由 $a \in H$ 和 $qb \in H$（已证），子群封闭性得 $r = a - qb \in H$。但 $0 \le r < b$ 且 $b$ 是 $H$ 中最小正整数，故 $r$ 不能是正整数，必须 $r = 0$。从而 $a = qb \in b\mathbb{Z}$。$\blacksquare$

核心技巧：带余除法 + 最小正整数的选取。

例子：

$b = 0$：$H = {0}$
$b = 1$：$H = \mathbb{Z}$
$b = 2$：$H = 2\mathbb{Z}$（全体偶数）
$b = 3$：$H = 3\mathbb{Z}$（全体 $3$ 的倍数）

注：集合 ${2p + 3q \mid p, q \in \mathbb{Z}}$ 看似不是此形式，但实际上等于 $\mathbb{Z}$（因为 $2p + 3q = 2(p+q) + q$，令 $p = -q$ 即得任意整数）。

$(\mathbb{Q}, +)$ 的子群结构就复杂得多——不是每个子群都能由单个元素的整数倍生成。

四、生成子群

4.1 定义

命题：设 $(G, *)$ 是群，$S \subseteq G$。则存在唯一的子群 $H \le G$ 满足：

$S \subseteq H$
对任意子群 $K \le G$，若 $S \subseteq K$，则 $H \subseteq K$

即 $H$ 是包含 $S$ 的最小子群。

证明：令 $\mathcal{T} = {K \le G \mid S \subseteq K}$（所有包含 $S$ 的子群组成的集合）。

$\mathcal{T} \ne \varnothing$（因为 $G \in \mathcal{T}$）
令 $H = \bigcap_{K \in \mathcal{T}} K$

由”任意多个子群的交仍是子群”，$H$ 是子群。每个 $K \in \mathcal{T}$ 都包含 $S$，故 $H \supseteq S$（条件1）。对任意包含 $S$ 的子群 $K$，$K \in \mathcal{T}$，故 $H \subseteq K$（条件2）。唯一性由条件2互推得到。$\blacksquare$

定义：上述 $H$ 称为 $S$ 在 $G$ 中生成的子群，记为 $\langle S \rangle$。

类比线性代数中”由一组向量生成的子空间”。但群中因为不一定有交换律，生成子群的描述形式比线性组合复杂得多。

4.2 由单个元素生成的子群

设 $a \in G$，由 ${a}$ 生成的子群简记为

\[\langle a \rangle\]

4.3 循环群

定义：若存在 $a \in G$ 使得 $G = \langle a \rangle$，则称 $G$ 为循环群，$a$ 为 $G$ 的生成元。

例子：

$(\mathbb{Z}, +)$ 是循环群，生成元为 $1$（或 $-1$）
$(\mathbb{Z}, +)$ 的每个子群 $b\mathbb{Z}$ 也是循环群，生成元为 $b$

事实（后面证明）：循环群只有两种（在同构意义下）：

$(\mathbb{Z}, +)$（无限循环群）
$(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}, +)$，即模 $n$ 加法群（$n$ 阶有限循环群）

子群判定与生成子群：从消去律到整数加法群的完全分类