群作用

二、回顾：群对子集的作用与稳定子群

2.1 基本设置

设 $(G, \cdot)$ 是一个群，$A \subseteq G$ 是 $G$ 的一个子集。对任意 $g \in G$，定义左平移：

\[gA = \{ga \mid a \in A\}\]

2.2 稳定子群的定义

定义：$A$ 的稳定子群（stabilizer）定义为

\[H = \mathrm{Stab}(A) = \{g \in G \mid gA = A\}\]

即所有使 $A$ 在左乘下不变的元素组成的集合。

2.3 上节课命题的回顾

命题（基本性质）：设 $G$ 是群，$A \subseteq G$，$H = \mathrm{Stab}(A)$，则：

$H \leq G$：$H$ 是 $G$ 的子群。
陪集分解：$A$ 可以写成关于 $H$ 的右陪集的不交并形式： $A = \bigsqcup_{a \in W} Ha$ 其中 $W$ 是某个代表元集合。这是因为不同的右陪集 $Ha$ 和 $Hb$ 要么不相交，要么相等。
子群判定：$A$ 是 $G$ 的子群 $\iff$ $A = H$（即 $A$ 等于自身的稳定子群）。
陪集相等的判定：对任意 $x, y \in G$， $xA = yA \iff xH = yH$

注意：这里右边的条件是关于子群 $H$ 的左陪集相等，而非关于任意子集 $A$ 的。对子群来说，判断两个陪集是否相同有成熟的充要条件（$x^{-1}y \in H$），而对一般子集不一定成立。因此，计算有多少个不同的集合 $xA$（$x$ 跑遍 $G$），等价于计算 $H$ 在 $G$ 中有多少个左陪集，后者可由 Lagrange 定理给出。

三、推论：有限子集的稳定子群

3.1 推论的陈述

设 $G$ 是群，$A$ 是 $G$ 的一个非空有限子集，$H = \mathrm{Stab}(A)$。则：

(1) 对任意 $g \in G$，$

$（左乘不改变元素个数）。

证明：群中有消去律，故映射 $a \mapsto ga$ 是 $A$ 到 $gA$ 的双射。

(2) $H$ 是有限群，且 $

$ 整除 $

$。

(3) $A$ 是 $G$ 的子群 $\iff$ $e \in A$（幺元属于 $A$）且 $

$。

3.2 推论 (2) 的证明

由命题性质 (2)，$A$ 可以写成右陪集的不交并：

\[A = \bigsqcup_{a \in W} Ha\]

其中不同的 $a, b \in A$，若 $Ha \cap Hb \neq \varnothing$，则 $Ha = Hb$（因为 $H$ 是子群）。

因此这是一个不交并分解。又因为每个右陪集 $Ha$ 的元素个数都等于 $

$，而 $A$ 非空有限，所以：

$H$ 也是有限的（若 $H$ 无限，则单个右陪集 $Ha$ 就已经是无限集，与 $A$ 有限矛盾）；

\cdot

$，其中 $

$ 是不交并中陪集的个数（$

\geq 1$）。

因此 $

$ 整除 $

$。

3.3 推论 (3) 的证明

必要性（$A$ 是子群 $\Rightarrow$ $e \in A$ 且 $

$）：若 $A$ 是子群，由命题性质 (3) 知 $A = H$，故 $e \in A$ 且 $

$。

充分性（$e \in A$ 且 $

$ $\Rightarrow$ $A$ 是子群）：

取 $a \in A$（$A \neq \varnothing$）。由分解 $A = \bigsqcup Ha_i$ 知 $Ha \subseteq A$。

比较元素个数：$

$（第一个等号是陪集的性质，第二个等号是假设条件）。

由 $Ha \subseteq A$ 且 $

$（有限集），得 $A = Ha$。

又因为 $e \in A$，所以 $e \in Ha$，即存在 $h \in H$ 使得 $ha = e$，从而 $a = h^{-1} \in H$。于是 $Ha = He = H$，故 $A = H$。

由命题性质 (3)，$A$ 是子群。

四、等价类的元素个数分析

4.1 设置

现在假设 $G$ 是有限群，$

= n$。设 $d \mid n$，$B$ 是 $G$ 的一个元素个数为 $d$ 的子集，且 $e \in B$。

定义等价类：

\[T_B = \{gB \mid g \in G\}\]

即 $B$ 在所有左平移下得到的子集组成的集合。

4.2 定理（等价类的元素个数）

设 $H = \mathrm{Stab}(B)$。

(1) $

T_B

= \dfrac{

}{

}$。

证明：由命题性质 (4)，$xB = yB \iff xH = yH$。因此 $T_B$ 中不同元素的个数等于 $H$ 在 $G$ 中的左陪集个数，即 $[G:H] = G / H $。

注意：这里能做除法是因为 $H$ 是子群，由 Lagrange 定理保证 $ H $ 整除 $ G $。对一般子集不能贸然做除法。

(2) 若 $T_B$ 中含有子群 $A$，则 $

T_B

= \dfrac{

}{d}$（因为 $A$ 是子群时 $A = H$，故 $

= d =

$）。

(3) 若 $T_B$ 中不含子群，则

\[|T_B| = \frac{|G|}{d} \cdot w\]

其中 $w$ 是 $d$ 的一个大于等于 $2$ 的正因子。

证明：因为 $T_B$ 不含子群，而 $e \in B$，由推论 (3) 知 $ B \neq H $。又 $ H $ 整除 $ B = d$，且 $ H \neq d$，故 $ H $ 是 $d$ 的一个真因子。

设 $d = H \cdot w$，则 $w \geq 2$ 且 $w \mid d$。于是

$$ T_B = \frac{ G }{ H } = \frac{ G }{d} \cdot w$$

五、Sylow 定理的证明

5.1 组合恒等式

命题：设 $G$ 是有限群，$

= n$，$d \mid n$。记 $s$ 为 $G$ 的元素个数为 $d$ 的子群的个数。则

\[\binom{n-1}{d-1} = s + \sum_{i=1}^{t} w_i\]

其中 $t$ 是某个自然数（$t = 0$ 时求和项消失），$w_1, \ldots, w_t$ 均是 $d$ 的大于等于 $2$ 的正因子。

5.2 证明

第一步：构造集合与等价关系。

设 $X = {B \subseteq G \mid

= d}$ 为 $G$ 的所有 $d$ 元子集组成的集合。在 $X$ 上定义等价关系：

\[B_1 \sim B_2 \iff \exists\, g \in G,\ gB_1 = B_2\]

这是等价关系（利用群的性质容易验证），且左乘不改变子集的元素个数，故 $\sim$ 确实是 $X$ 上的等价关系。

第二步：划分等价类。

设 $X$ 在 $\sim$ 下有 $M$ 个等价类 $T_1, T_2, \ldots, T_M$。

技术要点：对每个等价类 $T_i$，总可以选取代表元 $A_i \in T_i$ 使得 $e \in A_i$。

理由：任取 $B_i \in T_i$，取 $b \in B_i$（$B_i \neq \varnothing$ 因为 $d \geq 1$），令 $A_i = b^{-1}B_i$，则 $e = b^{-1}b \in A_i$，且 $A_i \sim B_i$，故 $A_i$ 仍是 $T_i$ 的代表元。

第三步：按有无子群分类。

不妨设 $T_1, \ldots, T_K$ 中各含有子群，$T_{K+1}, \ldots, T_M$ 中均不含子群，其中 $0 \leq K \leq M$。

由上节课的结论：每个等价类至多含有一个子群（若等价类中有子群 $A$，则 $T_i$ 中的任何子群 $A’$ 满足 $A’ = gA$ 对某个 $g$，又 $A’$ 含幺元故 $e \in gA$ 即 $g^{-1} \in A$，从而 $gA = A$，即 $A’ = A$）。

因此恰有 $K$ 个等价类含有子群，每个含恰好一个。

第四步：计算各等价类的大小。

对 $1 \leq i \leq K$：$T_i$ 含有子群，故 $ T_i = \dfrac{n}{d}$。

对 $K+1 \leq i \leq M$：$T_i$ 不含子群，故存在 $d$ 的大于等于 $2$ 的正因子 $w_i$ 使得 $

T_i

= \dfrac{n}{d} \cdot w_i$。

第五步：求和化简。

由 $

= \displaystyle\sum_{i=1}^{M}

T_i

$，得

\[\binom{n}{d} = K \cdot \frac{n}{d} + \sum_{i=K+1}^{M} \frac{n}{d} \cdot w_i\]

利用组合数恒等式

\[\binom{n}{d} = \frac{n}{d} \binom{n-1}{d-1}\]

两边除以 $\dfrac{n}{d}$：

\[\binom{n-1}{d-1} = K + \sum_{i=K+1}^{M} w_i\]

又 $K = s$（$K$ 个含子群的等价类，每个恰含一个子群，故 $G$ 恰有 $s = K$ 个 $d$ 阶子群），记 $t = M - K$，令 $w_1, \ldots, w_t$ 为对应的因子（重新编号），即得

\[\binom{n-1}{d-1} = s + \sum_{j=1}^{t} w_j\]

其中每个 $w_j$ 是 $d$ 的大于等于 $2$ 的正因子。$\blacksquare$

5.3 Sylow 第一定理

定理（Sylow 第一定理）：设 $G$ 是有限群，$

= n$，$p$ 是素数，$a \geq 1$，且 $p^a \mid n$。记 $s$ 为 $G$ 的 $p^a$ 阶子群的个数。则

\[s \equiv \binom{n-1}{p^a - 1} \pmod{p}\]

证明：在上述组合恒等式中取 $d = p^a$：

\[\binom{n-1}{p^a - 1} = s + \sum_{j=1}^{t} w_j\]

其中每个 $w_j$ 是 $p^a$ 的大于等于 $2$ 的正因子。由于 $p$ 是素数，$p^a$ 的大于等于 $2$ 的正因子必为 $p$ 的某个正幂次（即 $p, p^2, \ldots, p^a$），因此每个 $w_j$ 都被 $p$ 整除。

于是 $\displaystyle\sum_{j=1}^{t} w_j \equiv 0 \pmod{p}$，从而

\[s \equiv \binom{n-1}{p^a - 1} \pmod{p}\]

推论：可以证明 $\dbinom{n-1}{p^a - 1} \not\equiv 0 \pmod{p}$（此为已知的组合数论结论，可直接引用），因此 $s \neq 0$，即 $G$ 至少有一个 $p^a$ 阶子群。$\blacksquare$

5.4 证明要点

证明 Sylow 定理需要写清以下要点：

取 $G$ 的所有 $d$ 元（$d = p^a$）子集组成集合 $X$，定义左平移等价关系；
将所有等价类 $T_1, \ldots, T_M$ 按有无子群分为两类；

含子群的等价类：$

T_i

= n/d$；不含子群的等价类：$

T_i

= (n/d) \cdot w_i$，$w_i$ 是 $d$ 的 $\geq 2$ 正因子；

求和得 $\dbinom{n-1}{d-1} = K + \sum w_j$；
模 $p$ 后得 $s \equiv \dbinom{n-1}{p^a-1} \pmod{p}$；
关键一步（必须写明）：每个等价类至多含一个子群，因此含子群的等价类个数 $K$ 等于子群总数 $s$。

六、Sylow $p$-子群

6.1 定义

定义：设 $G$ 是有限群，$

= n$，$p$ 是素数。若 $p^a \mid n$ 但 $p^{a+1} \nmid n$（即 $p^a$ 是 $n$ 的最高 $p$-幂次因子），则 $G$ 的 $p^a$ 阶子群称为 $G$ 的 Sylow $p$-子群。

例：若 $ G = 24 = 2^3 \times 3$，则 $G$ 的 $8$ 阶子群（$2^3$ 阶）是 Sylow $2$-子群，而 $4$ 阶子群不是（因为 $2^3 \mid 24$ 但 $4 = 2^2$ 不是 $2$ 整除 $24$ 的最高幂次）。

6.2 Sylow 定理的意义

Sylow 第一定理保证了：对每个整除 $

$ 的素数幂 $p^a$，$G$ 至少存在一个 $p^a$ 阶子群。特别地，Sylow $p$-子群总是存在的。

这一结论具有重大意义，因为对一般的 $d \mid

$，$G$ 不一定有 $d$ 阶子群，但素数幂阶子群是保证存在的。

6.3 $p$-群

定义：若群 $G$ 的阶为素数 $p$ 的幂次（$

= p^k$），则称 $G$ 为 $p$-群。

$p$-群的研究从 19 世纪末开始，至今仍是群论的重要研究方向。Sylow $p$-子群对整个群的结构起着关键作用。

类比：正如每个正整数都可以写成素数幂的乘积（算术基本定理），有限群的结构也在很大程度上由其 Sylow $p$-子群决定。虽然这个类比不是严格的，但有助于理解为何素数幂阶子群如此重要。

6.4 Sylow 定理的其他部分（补充说明）

Sylow 定理还有第二部分（本课程不要求）：$G$ 的任何阶为 $p$ 的幂次的子群，都包含在 $G$ 的某个 Sylow $p$-子群中。

另一种常见的证明方法是对有限群的阶做归纳，需要用到商群的概念（将在后续课程中介绍）。

七、置换群简介

7.1 对称群的定义

定义：设 $X$ 是一个集合。$X$ 上所有双射 $\sigma: X \to X$ 组成的集合，在映射复合运算 $\circ$ 下构成一个群，称为 $X$ 上的对称群，记为 $S(X)$ 或 $\mathrm{Sym}(X)$。

\[S(X) = \{\sigma: X \to X \mid \sigma \text{ 是双射}\}\]

7.2 群运算的验证

运算（复合）：对 $\sigma, \tau \in S(X)$ 和 $x \in X$， $(\tau \circ \sigma)(x) = \tau(\sigma(x))$ 即从右到左依次作用：先算 $\sigma(x)$，再用 $\tau$ 作用于结果。
结合律：映射复合满足结合律（也可看作二元关系复合的特殊情况，上学期已证）。
幺元：$X$ 上的恒等映射 $\mathrm{id}_X$，满足 $\mathrm{id}_X(x) = x$ 对所有 $x \in X$。
逆元：对 $\sigma \in S(X)$，逆元为 $\sigma^{-1}$（$\sigma$ 的逆映射）。由于 $\sigma$ 是双射，$\sigma^{-1}$ 也是 $X$ 到 $X$ 的双射，故 $\sigma^{-1} \in S(X)$。 $\sigma(x) = y \iff x = \sigma^{-1}(y)$

7.3 置换群

定义：对称群 $S(X)$ 的子群称为 $X$ 上的置换群。

7.4 历史背景与重要性

对称群（置换群）是历史上最早被研究的群（19 世纪上半叶），比群的抽象定义（19 世纪下半叶）出现得更早。
群的抽象定义正是从映射复合的性质（结合律、双射可逆等）中抽象而来。
Cayley 定理（后续课程将讲到）：任何群都同构于某个置换群。即在同构意义下，对称群及其子群穷尽了所有群。

Sylow定理完整证明与置换群初步：群对子集的作用