一、共轭元素与正规子群
1.1 共轭元素的定义
定义: 设 $G$ 是一个群，$a, g \in G$。称
\[g a g^{-1}\]为 $a$ 的一个共轭元（更精确地说，是 $a$ 关于元素 $g$ 的共轭元）。
1.2 正规子群的定义
定义: 设 $H$ 是群 $G$ 的一个子群。若对任意 $a \in H$、任意 $g \in G$，都有
\[g a g^{-1} \in H\]则称 $H$ 是 $G$ 的一个正规子群，记作 $H \trianglelefteq G$（也有些书写作 $H \lhd G$）。
注意取值范围：$a$ 取遍 $H$，而 $g$ 取遍整个 $G$。
二、共轭的背景与例子
2.1 矩阵的相似即共轭
在线性代数中，两个矩阵 $A$ 和 $B$ 相似是指存在可逆矩阵 $P$ 使得 $B = PAP^{-1}$。这恰好就是可逆矩阵群中的共轭关系。
例: 设
\[A = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 2 \end{pmatrix}, \quad P = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}\]则
\[P^{-1} = \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}\]计算得 $B = PAP^{-1}$，虽然 $A$ 和 $B$ 对应位置的元素完全不同，但它们具有共轭（相似）关系。
相似矩阵共享许多不变量：行列式、特征值、特征多项式等。利用共轭关系还可以简化计算，例如：
\[B^n = (PAP^{-1})^n = PA^n P^{-1}\]由于对角矩阵 $A$ 的幂次很容易计算（对角线上各元素分别取幂），因此 $B^n$ 也容易求得。
2.2 置换群中的共轭
设 $\sigma = (a_0\ a_1\ \cdots\ a_{r-1})$ 是 $S_n$ 中的一个轮换，$\tau \in S_n$ 是任意置换，则
\[\tau \sigma \tau^{-1} = (\tau(a_0)\ \tau(a_1)\ \cdots\ \tau(a_{r-1}))\]即共轭后仍是同样长度的轮换，只不过每个元素被 $\tau$ 作用了一遍。
验证: 对 $0 \le i \le r-2$，有
\[\tau \sigma \tau^{-1}(\tau(a_i)) = \tau(\sigma(a_i)) = \tau(a_{i+1})\]对末尾元素 $\tau(a_{r-1})$，有 $\tau \sigma \tau^{-1}(\tau(a_{r-1})) = \tau(\sigma(a_{r-1})) = \tau(a_0)$，回到起点。对不在 ${a_0, \ldots, a_{r-1}}$ 中的元素 $j$，$\tau \sigma \tau^{-1}(\tau(j)) = \tau(j)$，即映到自身。
结论: 在 $S_n$ 中，两个轮换共轭当且仅当它们具有相同的轮换类型（即相同的循环结构）。
2.3 平凡正规子群与非平凡例子
任何群 $G$ 都有两个平凡正规子群：${e}$ 和 $G$ 本身（请自行用定义验证）。
例: $A_n \trianglelefteq S_n$（交错群是对称群的正规子群），可用定义验证。
Klein 四元群 $V_4$: $S_4$ 有一个非常特殊的四阶正规子群
\[V_4 = \{e,\ (12)(34),\ (13)(24),\ (14)(23)\}\]其元素除恒等置换外，恰好是所有由两个不相交对换乘积组成的置换，共三种。
$V_4$ 在对称群中地位独特：当 $n \ge 5$ 时，$S_n$ 的正规子群仅有 ${e}$、$A_n$ 和 $S_n$ 本身。而 $S_4$ 多出了 $V_4$ 这个例外。这与四次方程可用根式求解、而五次及以上不可以密切相关（Galois 理论）。
三、正规子群的等价条件
命题: 设 $G$ 是群，$H$ 是 $G$ 的子群。以下三条等价：
- $H \trianglelefteq G$（即对任意 $a \in H$、任意 $g \in G$，有 $gag^{-1} \in H$）
- 对任意 $a \in H$、任意 $g \in G$，有 $g^{-1}ag \in H$
- 对任意 $g \in G$，有 $gH = Hg$（即左陪集等于右陪集）
对于一般子群，左陪集和右陪集可能不同。正规子群的特点恰恰是：对任意元素，左陪集等于右陪集。因此讨论正规子群的陪集时，无需区分左右。
3.1 证明 (1) $\Leftrightarrow$ (2)
(1) $\Rightarrow$ (2): 由 (1)，对任意 $g \in G$、$a \in H$，有 $gag^{-1} \in H$。将 $g$ 替换为 $g^{-1}$（$g^{-1}$ 仍属于 $G$），得 $g^{-1}a(g^{-1})^{-1} = g^{-1}ag \in H$。
(2) $\Rightarrow$ (1): 类似地，对任意 $b \in G$，由 (2) 有 $b^{-1}ab \in H$。将 $b$ 替换为 $b^{-1}$，得 $bab^{-1} \in H$。
核心性质：$(g^{-1})^{-1} = g$，即逆元的逆等于自身。
3.2 证明 (3) $\Rightarrow$ (1)
由 (3)，$gH = Hg$。对 $a \in H$，有 $ga \in gH = Hg$，故存在 $h \in H$ 使得 $ga = hg$。两边右乘 $g^{-1}$ 得 $gag^{-1} = h \in H$。
3.3 证明 (1)+(2) $\Rightarrow$ (3)
证 $gH \subseteq Hg$: 对任意 $a \in H$，由 (1) 有 $gag^{-1} \in H$，故 $ga = (gag^{-1})g \in Hg$。由 $a$ 的任意性，$gH \subseteq Hg$。
证 $Hg \subseteq gH$: 对任意 $a \in H$，由 (2) 有 $g^{-1}ag \in H$，故 $ag = g(g^{-1}ag) \in gH$。由 $a$ 的任意性，$Hg \subseteq gH$。
两边互相包含，故 $gH = Hg$。$\blacksquare$
四、商群
4.1 子集乘法的回顾
设 $G$ 是群（或半群），$A, B \subseteq G$，定义子集乘法：
\[AB = \{ab \mid a \in A,\ b \in B\}\]子集乘法的结合律: 若 $A, B, C \subseteq G$，则 $(AB)C = A(BC)$。这是因为群（半群）元素的乘法本身满足结合律，无论括号如何添加，最终结果都是 ${abc \mid a \in A,\ b \in B,\ c \in C}$。
4.2 陪集乘法的关键命题
命题: 设 $H \trianglelefteq G$，则对任意 $x, y \in G$，有
\[(xH)(yH) = (xy)H\]证明: 利用子集乘法的结合律：
\[(xH)(yH) = x(Hy)H = x(yH)H = (xy)(HH) = (xy)H\]其中：
- $Hy = yH$：因为 $H$ 是正规子群
- $HH = H$：因为 $H$ 是子群（对乘法封闭且含幺元），所以 $HH \subseteq H$；又 $H = eH \subseteq HH$，故 $HH = H$
这个等式也是正规子群的一个充分必要条件：$H$ 是 $G$ 的正规子群当且仅当对任意 $x, y \in G$ 都有 $(xH)(yH) = (xy)H$。
4.3 商群的定义
定理: 设 $G$ 是群，$H \trianglelefteq G$。记
\[G/H = \{xH \mid x \in G\}\]为 $G$ 关于 $H$ 的全体（左）陪集的集合。则 $G/H$ 在子集乘法下构成群，称为 $G$ 关于 $H$ 的商群。
具体来说：
- 乘法: 对任意 $x, y \in G$，$(xH)(yH) = (xy)H$
- 幺元: $H = eH$
- 逆元: 对任意 $x \in G$，$(xH)^{-1} = x^{-1}H$
证明要点:
- 封闭性: 由上述命题，两个陪集之积仍是陪集。
- 结合律: 子集乘法本身满足结合律。
- 幺元: $(xH)(eH) = (xe)H = xH$，同理 $(eH)(xH) = xH$。又因 $H$ 是子群，$HH = H$，即 $eH$ 是幺元。
- 逆元: $(xH)(x^{-1}H) = (xx^{-1})H = eH = H$。$\blacksquare$
商群的一切结构都继承自原群 $G$：乘法、幺元、逆元均由 $G$ 中对应的运算决定。
记号说明：有些书用 $\bar{x}$ 表示 $xH$，但使用时要明确是关于哪个正规子群的陪集。有些书不从子集乘法出发，而是直接定义陪集乘法 $(xH)(yH) = (xy)H$ 并验证良定义性，这两种方式等价。
4.4 例：整数模 $n$ 的商群
设 $G = (\mathbb{Z}, +)$，取正整数 $n$，令
\[H = n\mathbb{Z} = \{nk \mid k \in \mathbb{Z}\}\]这是 $\mathbb{Z}$ 的一个子群（实际上，由于 $\mathbb{Z}$ 是交换群，任何子群都是正规子群）。
商群
\[\mathbb{Z}/n\mathbb{Z} = \{0 + n\mathbb{Z},\ 1 + n\mathbb{Z},\ \ldots,\ (n-1) + n\mathbb{Z}\}\]共有 $n$ 个陪集（由带余除法保证）。运算规则为
\[(i + n\mathbb{Z}) + (j + n\mathbb{Z}) = (i + j) + n\mathbb{Z}\]当 $i + j \ge n$ 时，可以减去 $n$ 回到 ${0, 1, \ldots, n-1}$ 的范围，这正是模 $n$ 加法。因此
\[\mathbb{Z}/n\mathbb{Z} \cong (\mathbb{Z}_n, +_n)\]即商群 $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ 与模 $n$ 加法群同构。
五、群同态
5.1 同态的定义
设 $G$ 和 $L$ 是两个群，映射 $f: G \to L$ 称为群同态，若对任意 $x, y \in G$，有
\[f(xy) = f(x)f(y)\]其中左边的乘法在 $G$ 中进行，右边的乘法在 $L$ 中进行。
若 $f$ 还是单射且满射，则称 $f$ 为群同构。
5.2 核与像
核:
\[\ker f = \{a \in G \mid f(a) = e_L\}\]即所有映到 $L$ 的幺元的元素组成的集合。
像:
\[\operatorname{im} f = \{f(a) \mid a \in G\} \subseteq L\]这两个概念在线性代数中也出现过：线性映射的零空间（核空间）和值域（像空间）。
5.3 同态的基本性质
命题: 设 $f: G \to L$ 是群同态，$K = \ker f$。则：
- $f(e_G) = e_L$（幺元映到幺元）
- $f(a^{-1}) = f(a)^{-1}$（逆元映到逆元）
- 对任意 $x, y \in G$：$f(x) = f(y) \iff x^{-1}y \in K \iff xK = yK$
- $K \trianglelefteq G$（核是 $G$ 的正规子群）
- $\operatorname{im} f$ 是 $L$ 的子群
证明:
(1) $f(e_G) = f(e_G \cdot e_G) = f(e_G) \cdot f(e_G)$，即 $f(e_G)$ 等于自身的平方。在群中由消去律得 $f(e_G) = e_L$。
(2) $f(a) \cdot f(a^{-1}) = f(aa^{-1}) = f(e_G) = e_L$，故 $f(a^{-1}) = f(a)^{-1}$。
(3) $f(x) = f(y) \iff f(x)^{-1}f(y) = e_L \iff f(x^{-1})f(y) = e_L \iff f(x^{-1}y) = e_L \iff x^{-1}y \in K$。而 $x^{-1}y \in K$ 等价于 $xK = yK$（陪集相等的判定条件，这里 $K$ 是子群且是正规子群）。
(4) 先证 $K$ 是子群：
- $f(e_G) = e_L$，故 $e_G \in K$（非空）。
- 若 $a, b \in K$，则 $f(ab) = f(a)f(b) = e_L \cdot e_L = e_L$，故 $ab \in K$（对乘法封闭）。
- 若 $a \in K$，则 $f(a^{-1}) = f(a)^{-1} = e_L^{-1} = e_L$，故 $a^{-1} \in K$（对求逆封闭）。
再证 $K$ 正规：对任意 $g \in G$、$a \in K$，
\[f(gag^{-1}) = f(g)f(a)f(g^{-1}) = f(g) \cdot e_L \cdot f(g)^{-1} = e_L\]故 $gag^{-1} \in K$。因此 $K \trianglelefteq G$。
注意：验证正规子群时，必须先验证子群性质，然后再验证对共轭运算封闭。
(5) $\operatorname{im} f$ 是 $L$ 的子群：$f(e_G) = e_L \in \operatorname{im} f$（非空）。若 $f(a), f(b) \in \operatorname{im} f$，则 $f(a)f(b) = f(ab) \in \operatorname{im} f$（对乘法封闭）。$f(a)^{-1} = f(a^{-1}) \in \operatorname{im} f$（对求逆封闭）。$\blacksquare$
性质 (3) 中 $f(x) = f(y) \iff xK = yK$ 的等价关系尤为核心，它揭示了同态与商群之间的深层联系。
六、群同态基本定理（第一同构定理）
6.1 定理叙述
定理（同态基本定理）: 设 $f: G \to L$ 是群同态，$K = \ker f$。定义映射
\[\bar{f}: G/K \to L, \quad xK \mapsto f(x)\]则：
- $\bar{f}$ 是合理定义的（与代表元选取无关）
- $\bar{f}$ 是单射
- $\bar{f}$ 是群同态
- $\operatorname{im} \bar{f} = \operatorname{im} f$
从而
\[G/K \cong \operatorname{im} f\]即 $G$ 关于核的商群与 $f$ 的像同构。
直观理解：核中的元素全部映到幺元，不提供额外信息。将核”商掉”后，同态 $f$ 就变成了单射。商群 $G/K$ 与像 $\operatorname{im} f$ 之间存在完美的同构对应。
6.2 证明
合理定义且单射: 由性质 (3)，$f(x) = f(y) \iff xK = yK$。因此：
- 若 $xK = yK$，则 $f(x) = f(y)$，说明 $\bar{f}$ 不依赖于代表元选取（合理定义）。
- 若 $\bar{f}(xK) = \bar{f}(yK)$，即 $f(x) = f(y)$，则 $xK = yK$，说明 $\bar{f}$ 是单射。
群同态: 对任意 $x, y \in G$，
\[\bar{f}((xK)(yK)) = \bar{f}((xy)K) = f(xy) = f(x)f(y) = \bar{f}(xK) \cdot \bar{f}(yK)\]其中第一步用了商群的乘法定义，第二步用了 $\bar{f}$ 的定义，第三步用了 $f$ 是同态。
像相同:
\[\operatorname{im} \bar{f} = \{\bar{f}(xK) \mid x \in G\} = \{f(x) \mid x \in G\} = \operatorname{im} f\]因此 $\bar{f}$ 是从 $G/K$ 到 $\operatorname{im} f$ 的双射群同态，即同构。$\blacksquare$
绝大多数群同构关系的建立都依赖于这个定理：先构造一个合适的同态 $f$，算出其核与像，然后直接应用同态基本定理得到同构。
6.3 例：模 $n$ 加法群（同态定理视角）
定义 $f: \mathbb{Z} \to \mathbb{Z}_n$，$f(a) = a \bmod n$。
- $f$ 是群同态（模运算保持加法）
- $\ker f = n\mathbb{Z}$（$n$ 的倍数模 $n$ 为零）
- $\operatorname{im} f = \mathbb{Z}_n$（$f$ 是满射，因为 $0, 1, \ldots, n-1$ 模 $n$ 得到自身）
由同态基本定理：$\mathbb{Z}/n\mathbb{Z} \cong \mathbb{Z}_n$。
6.4 例：一般线性群与行列式
设 $G = GL_2(\mathbb{R})$（$2 \times 2$ 可逆实矩阵群），定义
\[f: GL_2(\mathbb{R}) \to \mathbb{R}^*, \quad A \mapsto \det A\]其中 $\mathbb{R}^* = \mathbb{R} \setminus {0}$ 是非零实数在乘法下构成的群。
- $f$ 是群同态（$\det(AB) = \det A \cdot \det B$）
- $f$ 是满射（对任意 $c \in \mathbb{R}^*$，取 $A = \begin{pmatrix} c & 0 \ 0 & 1 \end{pmatrix}$ 即可）
- $\ker f = SL_2(\mathbb{R}) = {A \in GL_2(\mathbb{R}) \mid \det A = 1}$（特殊线性群）
由同态基本定理：
\[GL_2(\mathbb{R}) / SL_2(\mathbb{R}) \cong \mathbb{R}^*\]若不用同态基本定理而直接构造同构映射，则不太容易。该定理的威力在于：只需找到合适的同态，核与像的计算通常很自然，同构关系便随之而来。