一、群的单边定义
1.1 群的一般定义回顾
群 $(G, \cdot)$ 的定义包含以下条件：
- $G$ 是非空集合上的一个封闭二元运算
- 运算满足结合律
- 存在单位元 $e$：对任意 $x \in G$，$ex = xe = x$
- 存在逆元：对任意 $x \in G$，存在 $x^{-1}$ 使得 $x^{-1}x = xx^{-1} = e$
- （可选）交换律：若对任意 $a, b \in G$，$ab = ba$，则称 $G$ 为交换群（阿贝尔群）
满足第1、2条构成半群；加上第3条构成幺半群；加上第4条构成群。
大多数关于数的运算（整数群、实数群、模 $n$ 加法群等）都是交换群，但实际上绝大多数群是不交换的。经典的例子包括：置换群（映射的复合不满足交换律）、矩阵乘法群。
1.2 群的单边定义
将第3、4条修改为单边条件：
3’. 存在左单位元：存在 $e$，对任意 $x \in G$，$ex = x$ 4’. 存在左逆元：对任意 $x \in G$，存在 $x^{-1}$ 使得 $x^{-1}x = e$
定理: 若 $(G, \cdot)$ 满足条件1、2、3’、4’，则 $G$ 构成群。
证明思路:
第一步：左逆元也是右逆元
由条件4’，对任意 $x \in G$，存在 $x^{-1}$ 使得 $x^{-1}x = e$。
对 $x^{-1}$ 再取其左逆元 $x’$，有 $x’ x^{-1} = e$。
计算 $xx^{-1}$：
\[xx^{-1} = e \cdot (xx^{-1}) = (x' x^{-1})(xx^{-1}) = x'(x^{-1}x)x^{-1} = x' \cdot e \cdot x^{-1} = x' x^{-1} = e\]因此 $xx^{-1} = e$，即左逆元也是右逆元。
第二步：左单位元也是右单位元
\[xe = x(x^{-1}x) = (xx^{-1})x = ex = x\]因此 $xe = x$，即左单位元也是右单位元。
注意: 证明顺序很重要——必须先证逆元再证单位元。若先假设右单位元或右逆元存在，则属于循环论证。两个证明步骤中必有一步较长，若两步都很短，说明某处引入了未证明的条件。
二、循环群的幂次与阶
2.1 两个重要结论
设元素 $a$ 的阶为 $n$（即 $a^n = e$ 且 $n$ 是满足此条件的最小正整数）。
结论一: 对任意正整数 $k$，
\[\langle a^k \rangle = \langle a^{\gcd(n,k)} \rangle\]即 $a^k$ 生成的循环群等于 $a^{\gcd(n,k)}$ 生成的循环群。
结论二: $a^k$ 的阶为
\[|a^k| = \frac{n}{\gcd(n,k)}\]2.2 结论一的证明
证明两个集合相等，即证明互相包含。
$\langle a^k \rangle \subseteq \langle a^{\gcd(n,k)} \rangle$:
任取 $x \in \langle a^k \rangle$，则 $x = (a^k)^m = a^{km}$。
记 $k = k_1 \cdot \gcd(n,k)$，则
\[x = a^{k_1 \cdot \gcd(n,k) \cdot m} = (a^{\gcd(n,k)})^{k_1 m} \in \langle a^{\gcd(n,k)} \rangle\]$\langle a^{\gcd(n,k)} \rangle \subseteq \langle a^k \rangle$:
任取 $y \in \langle a^{\gcd(n,k)} \rangle$，则 $y = (a^{\gcd(n,k)})^m$。
由裴蜀定理，存在整数 $p, q$ 使得 $\gcd(n,k) = pn + qk$。故
\[y = a^{(pn + qk)m} = a^{pnm} \cdot a^{qkm} = (a^n)^{pm} \cdot (a^k)^{qm} = e^{pm} \cdot (a^k)^{qm} = (a^k)^{qm} \in \langle a^k \rangle\]意义：可以用更小的幂次的生成元来表征更大幂次的生成元所生成的循环群，使后续计算和理解更直观。
2.3 结论二的证明
| 设 $ | a^k | = t$，需证 $t = \frac{n}{\gcd(n,k)}$。记 $n_1 = \frac{n}{\gcd(n,k)}$，$k_1 = \frac{k}{\gcd(n,k)}$。 |
证 $n_1 \mid t$: 由 $(a^k)^t = e$ 得 $a^{kt} = e$，故 $n \mid kt$，即 $n_1 \cdot \gcd(n,k) \mid k_1 \cdot \gcd(n,k) \cdot t$，约去公因数得 $n_1 \mid k_1 t$。由于 $n_1$ 与 $k_1$ 互素（最大公因数已约尽），故 $n_1 \mid t$。
证 $t \mid n_1$: 计算 $(a^k)^{n_1} = a^{k \cdot n_1} = a^{k_1 \cdot \gcd(n,k) \cdot \frac{n}{\gcd(n,k)}} = a^{k_1 n} = (a^n)^{k_1} = e$。故 $t \mid n_1$。
由 $n_1 \mid t$ 且 $t \mid n_1$，得 $t = n_1 = \frac{n}{\gcd(n,k)}$。$\blacksquare$
辅助引理（互素整除）: 若 $a, b$ 互素且 $a \mid bc$，则 $a \mid c$。由裴蜀定理 $ma + nb = 1$，两边乘 $c$ 得 $mac + nbc = c$，因为 $a \mid mac$ 且 $a \mid nbc$，所以 $a \mid c$。
三、置换群
3.1 置换的基本概念
置换: 集合 $A$ 到自身的一个双射 $f: A \to A$。
在代数中，置换通常写成两排形式，而非函数表达式。例如集合 ${1, 2, 3}$ 上的一个置换：
\[\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 3 & 2 & 1 \end{pmatrix}\]3.2 轮换表示
若 $a_1 \mapsto a_2 \mapsto \cdots \mapsto a_k \mapsto a_1$，则记为轮换 $(a_1\ a_2\ \cdots\ a_k)$。
- 长度为1的轮换可以省略不写（前提是集合已明确给定）
- 不相交的轮换满足交换律，可以任意调换位置
- 建议从编号最小的元素开头书写
3.3 轮换的复合运算
关键: 复合运算 $\beta \circ \alpha$ 是先算 $\alpha$ 再算 $\beta$（从右往左，与函数复合一致）。
求逆: 置换是双射，求逆时只需将两排表示的上下行交换，再按第一行排序即可。
检验方法: 计算结果中，上下两行都应是 ${1, 2, \ldots, n}$ 的排列。若数目不对，必定算错。
3.4 轮换的阶
置换群 $S_n$: 集合 ${1, 2, \ldots, n}$ 上全体置换在函数复合下构成群，阶为 $n!$。
置换群的单位元是恒等映射 $\begin{pmatrix} 1 & 2 & \cdots & n \ 1 & 2 & \cdots & n \end{pmatrix}$。
轮换的阶 = 使轮换变成单位置换的最小正整数次数。
例:
- $(1\ 2)$ 的阶为 $2$
- $(1\ 3\ 2)(4\ 5)$ 的阶为 $\text{lcm}(3, 2) = 6$
- $(1\ 4)(2\ 3)$ 的阶为 $\text{lcm}(2, 2) = 2$（注意不是4）
一般结论: 若置换写成不相交轮换的乘积 $\alpha_1 \alpha_2 \cdots \alpha_k$，则
\[|\alpha_1 \alpha_2 \cdots \alpha_k| = \text{lcm}(|\alpha_1|, |\alpha_2|, \ldots, |\alpha_k|)\]直观理解（齿轮模型）：每个轮换是一个”齿轮”，每次作用各齿轮转一格。所有齿轮同时回到初始位置的最小次数就是各齿轮周期的最小公倍数。
3.5 对换
对换: 长度为2的轮换 $(a\ b)$（$a \neq b$）。
任何轮换都可以写成若干对换的乘积:
\[(a_1\ a_2\ \cdots\ a_k) = (a_1\ a_k)(a_1\ a_{k-1}) \cdots (a_1\ a_2)\]3.6 奇置换与偶置换
- 一个置换写成对换乘积时，表达形式不唯一，但对换个数的奇偶性不变
- 若对换个数为偶数，称为偶置换；若为奇数，称为奇置换
- 单位置换是偶置换（例如 $(1\ 2)(1\ 2) = e$，两个对换）
3.7 交错群
\[A_n = \{\text{所有偶置换}\} \trianglelefteq S_n\]- $A_n$ 是 $S_n$ 的正规子群
-
$ A_n = \frac{n!}{2}$（恰好一半是偶置换，一半是奇置换）
所有奇置换不能构成子群，因为不含单位元。
四、群同态与群同构
4.1 同态
设 $(G, \circ)$ 和 $(\bar{G}, *)$ 是两个群，映射 $\varphi: G \to \bar{G}$ 满足
\[\varphi(a \circ b) = \varphi(a) * \varphi(b)\]则称 $\varphi$ 为群同态（先运算再映射 = 先映射再运算）。
4.2 同构
若 $\varphi$ 还是双射，则称 $\varphi$ 为群同构，记 $G \cong \bar{G}$。
同构的含义：忽略群元素本身的性质，只关注元素之间的运算关系，两个同构的群在代数运算意义上完全等价。
例: 所有 $n$ 阶循环群 $\cong (\mathbb{Z}_n, +_n)$，所有无限循环群 $\cong (\mathbb{Z}, +)$。
4.3 证明同构的步骤
- 构造 $\varphi$：说清楚映射规则
- 证明同态：验证 $\varphi(ab) = \varphi(a)\varphi(b)$（对任意 $a, b$）
- 证明双射：证明单射 + 满射
4.4 证明不同构
找结构不同点，然后用反证法：
- 观察两个群在结构上的区别
- 假设存在同构映射 $\varphi$
- 利用结构差异推出矛盾
常见的结构不同点：
- 生成元: 一个是循环群，另一个不是（例：$(\mathbb{Q}, +)$ 不是循环群，因为找不到生成元）
- 单位元: 单位元的映射不合理
- 特定元素的阶: 一个群有某阶元素，另一个没有
例: $(\mathbb{R}, +)$ 与 $(\mathbb{R}^+, \times)$ 同构，同构映射为指数函数 $\varphi(a) = 2^a$。验证：$\varphi(a + b) = 2^{a+b} = 2^a \cdot 2^b = \varphi(a) \cdot \varphi(b)$。（底数可以是任何大于0且不为1的数）
4.5 凯莱定理
定理: 任意群都同构于某个置换群。
证明步骤:
- 构造映射: 对任意 $g \in G$，定义 $T_g: G \to G$，$T_g(x) = gx$。令 $\varphi: G \to {T_g \mid g \in G}$，$\varphi(g) = T_g$。
- 证明所有 $T_g$ 构成置换群: 验证 $T_g$ 是双射（即置换），再验证 ${T_g}$ 构成群（封闭性、结合律、单位映射、逆映射）。
- 证明 $\varphi$ 是同构映射: 由 $T_{hg}(x) = (hg)x = h(gx) = T_h(T_g(x))$，得 $\varphi(hg) = T_{hg} = T_h \circ T_g = \varphi(h) \circ \varphi(g)$。
意义：任何抽象的群都可以”具体化”为一个置换群。当群的运算过于复杂时，可用凯莱定理转化为性质友好的置换群来研究。
4.6 核与像
核: $\ker \varphi = {x \in G \mid \varphi(x) = e_{\bar{G}}}$
求核的方法：先确定右边群的单位元，再找左边群中所有映射后变成该单位元的元素。
像: $\operatorname{im} \varphi = {\varphi(x) \mid x \in G} \subseteq \bar{G}$
同构的像就是整个 $\bar{G}$（因为同构是满射）；同态的像可能是 $\bar{G}$ 的真子集。
五、正规子群与商群
5.1 陪集
设 $H$ 是群 $G$ 的子群，$a \in G$，则 $aH = {ah \mid h \in H}$ 称为左陪集。
陪集不一定是子群——它可能不含单位元。
5.2 正规子群
$H \trianglelefteq G$ 当且仅当对任意 $a \in G$，$aH = Ha$（左陪集等于右陪集）。
等价定义：对任意 $a \in G$、任意 $h \in H$，有 $aha^{-1} \in H$。
5.3 证明正规子群的步骤
必须分两步（否则扣一半分）：
第一步: 证明 $H$ 是 $G$ 的子群。可用以下任一方法：
- 定义法（逐一验证封闭性、单位元、逆元）
- 一步法（对任意 $a, b \in H$，$ab^{-1} \in H$）
- 两步法（对任意 $a, b \in H$，$ab \in H$ 且 $a^{-1} \in H$）
第二步: 证明子群是正规的。用定义验证：
\[\text{对任意 } a \in G,\ \text{任意 } h \in H,\quad aha^{-1} \in H\]注意：$a$ 取遍整个 $G$，$h$ 取遍 $H$。左右两边的 $H$ 中的元素不一定相同（即 $aha^{-1}$ 不一定等于 $h$，但一定属于 $H$）。
六、群论知识框架
- 少量初等数论（裴蜀定理等）
- 群的定义、子群、循环群
- 置换群（复合运算、轮换表示、求逆、求阶）
- 群同态与群同构
- 正规子群、商群
- 拉格朗日定理
- 西洛定理
常见易错点
- 置换复合: 先算右边（离 $x$ 近的），不要搞反顺序
- 置换计算后检验: 上下两排的元素个数必须一致，且各为 ${1, \ldots, n}$ 的排列
- 正规子群: 先证子群，再证正规
- 群同态: 不默认满射也不默认单射，需要时必须证明
-
循环群的幂次公式: 记住 $\langle a^k \rangle = \langle a^{\gcd(n,k)} \rangle$ 和 $ a^k = \frac{n}{\gcd(n,k)}$ - 单边定义的结论可直接使用