一、环的定义
1.1 从群到环：两个运算的结合
之前研究的是一个集合上配备一个运算的结构（群）。现在考虑一个集合上同时有两个运算的情形。
当同时考虑两个运算时，它们之间需要有联系——否则分别研究即可。分配律（Distributive Law）是将两个运算联系起来的最基本规则。
1.2 环的正式定义
设 $(R, +, \cdot)$ 是一个非空集合 $R$ 配备两个二元运算，若满足：
- $(R, +)$ 构成交换群（加法群）
- 乘法对加法满足分配律：对任意 $a, b, c \in R$， \(a \cdot (b + c) = a \cdot b + a \cdot c, \quad (b + c) \cdot a = b \cdot a + c \cdot a\)
则称 $(R, +, \cdot)$ 为一个环（Ring）。
1.3 交换群的记号约定
若一个群的运算满足交换律，习惯写成加法形式：
- 运算记为 $+$
- 逆元 $a^{-1}$ 写成 $-a$
- $a \cdot b^{-1}$ 写成 $a - b$
1.4 结合环
若环 $(R, +, \cdot)$ 的乘法还满足结合律，则称为结合环（Associative Ring）。
环的最广义定义不要求乘法有结合律，但通常考虑的所有例子都满足结合律，即都是结合环。
1.5 环的附加性质
碰到一个结合环，一般首先考虑：
- 有无乘法幺元：是否存在元素 $1 \in R$，使得对任意 $a \in R$，$1 \cdot a = a \cdot 1 = a$。有乘法幺元的环中，乘法结构构成幺半群。
- 乘法是否交换：加法一定交换（定义要求），但乘法不一定。若乘法也满足交换律，称为交换环（Commutative Ring）。
二、环的经典例子
2.1 整数环 $(\mathbb{Z}, +, \times)$
- 加法群 $(\mathbb{Z}, +)$ 是交换群
- 乘法满足结合律、交换律
- 乘法幺元为 $1$
- 是交换结合环，且有幺元
2.2 偶数环 $(2\mathbb{Z}, +, \times)$
- 加法群 $(2\mathbb{Z}, +)$ 是交换群（由 $2$ 生成的子群）
- 偶数相乘仍为偶数（乘法封闭）
- 满足分配律、结合律、交换律
- 没有乘法幺元（因为 $1 \notin 2\mathbb{Z}$）
并非所有结合环都有乘法幺元，但通常碰到的大多数都有。
2.3 矩阵环 $M_n(\mathbb{R})$
实数域上 $n$ 阶方阵在矩阵加法和矩阵乘法下构成环。
- 矩阵加法：分量相加
- 矩阵乘法：$(AB){ij} = \sum_k A{ik} B_{kj}$（$A$ 的第 $i$ 行乘 $B$ 的第 $j$ 列）
矩阵乘法之所以这样定义，是因为线性方程组 $AX = b$ 需要这种运算规则。逐分量相乘（Hadamard积）虽然也有用，但远不如矩阵乘法重要。
性质：
- 结合律成立（验证需用到二重求和，作为练习）
- 乘法幺元为单位矩阵 $I_n$
- 当 $n \geq 2$ 时，乘法不满足交换律（存在 $AB \neq BA$ 的矩阵对）
注意：说一个环没有交换律，是指存在两个元素乘法不交换，而非任意两个都不交换。例如，两个对角矩阵相乘一定交换；单位矩阵与任何矩阵相乘都交换。
2.4 连续函数环 $C[0,1]$
$[0,1]$ 上全体实值连续函数，在逐点加法和逐点乘法下构成环：
- $(f + g)(x) = f(x) + g(x)$
- $(f \cdot g)(x) = f(x) \cdot g(x)$
性质：
- 乘法满足交换律（因为实数乘法交换）
- 乘法幺元为常值函数 $f(x) \equiv 1$
- 是交换结合环
注意：这里的乘法是逐点相乘，不是函数复合（复合用 $\circ$ 表示）。
三、环论的历史背景
3.1 群与环的历史对比
- 群的抽象定义：19世纪上半叶（1820年代），源于解方程（Galois理论）
- 环的抽象定义：19世纪下半叶（1870-1880年代），源于数论问题
3.2 费马大定理与环的起源
费马大定理（Fermat’s Last Theorem）：当 $n \geq 3$ 时，$x^n + y^n = z^n$ 没有正整数解。
研究思路：对方程做因式分解
\[z^n - y^n = (z - \lambda_1 y)(z - \lambda_2 y) \cdots (z - \lambda_n y)\]其中 $\lambda_1, \lambda_2, \ldots, \lambda_n$ 是 $n$ 次单位根（构成循环群，生成元为 $e^{2\pi i/n}$）。
这引入了环 $\mathbb{Z}[\lambda]$——在整数环中添加单位根后构成的更大的环。
3.3 唯一因子分解的失败
- 整数环 $\mathbb{Z}$ 中，任何整数可唯一分解为素数乘积（算术基本定理）
- 人们希望 $\mathbb{Z}[\lambda]$ 也有唯一因子分解性质，从而直接证明费马大定理
- 但对大多数 $n$，$\mathbb{Z}[\lambda]$ 不满足唯一因子分解（$n = 3, 4$ 时可以，大多数情况不行）
3.4 理想的引入
为了弥补唯一因子分解的缺失：
- Kummer、Dedekind 引入了理想（Ideal）的概念
- 理想不是单个元素，而是环中满足一定条件的集合
- 对很大一类环，虽然元素层面没有唯一分解，但理想上的乘法有唯一分解性
3.5 Noether与抽象代数的诞生
- 20世纪初，德国数学家 Emmy Noether 给出了抽象交换环的定义
- 定义了交换环上的理想
- 标志着抽象代数作为独立方向的正式出现
从整个代数来看，群的概念更加基本，但环的概念可能是最中心的。
历史发展顺序：具体例子 → 交换环 → 去掉交换律 → 一般结合环。并非一开始就给出最抽象的定义。
四、算术函数环与 Dirichlet 卷积
4.1 算术函数的定义
考虑所有正整数到实数的映射 $f: \mathbb{Z}^+ \to \mathbb{R}$ 的全体，记为 $\mathbb{R}^{\mathbb{Z}^+}$。
4.2 加法与乘法（Dirichlet 卷积）
加法：逐点定义
\[(f + g)(n) = f(n) + g(n)\]乘法（Dirichlet 卷积）：
\[(f * g)(n) = \sum_{d \mid n} f(d) \cdot g\left(\frac{n}{d}\right) = \sum_{\substack{a, b \geq 1 \\ ab = n}} f(a) \cdot g(b)\]即对 $n$ 的所有正因子 $d$ 求和。
例：$n = 6$ 时，$d$ 取遍 $1, 2, 3, 6$。
4.3 环的性质验证
在上述加法和 Dirichlet 卷积下，$\mathbb{R}^{\mathbb{Z}^+}$ 构成交换结合环：
- 分配律成立：归根到底是因为实数的加法和乘法有分配律。验证方法：任取正整数 $n$，证明左右两边在 $n$ 处取值相等。
- 结合律成立（建议自行验证）
- 交换律成立：因为实数乘法满足交换律，$f(d) \cdot g(n/d) = g(n/d) \cdot f(d)$
4.4 卷积的幺元
幺元 $\varepsilon$（epsilon函数）：
\[\varepsilon(n) = \begin{cases} 1, & n = 1 \\ 0, & n \geq 2 \end{cases}\]验证：$(f * \varepsilon)(n) = \sum_{d \mid n} f(d) \cdot \varepsilon(n/d) = f(n)$（因为只有 $d = n$ 时 $\varepsilon(n/d) = \varepsilon(1) = 1$，其余项为零）。
4.5 常值函数 $\mathbf{1}$ 与 Möbius 函数 $\mu$
常值函数 $\mathbf{1}$：对所有正整数 $m$，$\mathbf{1}(m) = 1$。
$\mathbf{1}$ 与任意 $f$ 做卷积：
\[(\mathbf{1} * f)(n) = \sum_{d \mid n} f(d)\]Möbius 函数 $\mu$ 的定义：
\[\mu(m) = \begin{cases} 1, & m = 1 \\ (-1)^k, & m = p_1 p_2 \cdots p_k \text{（$k$ 个两两不同的素数之积）} \\ 0, & m \text{ 有平方素因子（即存在素数 } p \text{ 使得 } p^2 \mid m\text{）} \end{cases}\]例：$\mu(1) = 1$，$\mu(6) = \mu(2 \cdot 3) = (-1)^2 = 1$，$\mu(30) = \mu(2 \cdot 3 \cdot 5) = (-1)^3 = -1$，$\mu(12) = 0$（因为 $4 \mid 12$）。
4.6 关键性质：$\mathbf{1}$ 与 $\mu$ 互为逆元
在 Dirichlet 卷积下：
\[\mathbf{1} * \mu = \mu * \mathbf{1} = \varepsilon\]即 $\sum_{d \mid n} \mu(d) = \begin{cases} 1, & n = 1 \ 0, & n \geq 2 \end{cases}$
在幺半群中，不是每个元素都可逆（可逆元素构成群）。$\mathbf{1}$ 和 $\mu$ 都是可逆元素，它们互为逆元。这类似于矩阵环中有可逆矩阵和不可逆矩阵。
4.7 上述性质的证明
设 $n = p_1^{e_1} p_2^{e_2} \cdots p_r^{e_r}$（$e_i \geq 1$）。
在 $\sum_{d \mid n} \mu(d)$ 中，有平方因子的 $d$ 贡献为 $0$，因此只需对 $p_1 p_2 \cdots p_r$ 的因子（即从 ${p_1, \ldots, p_r}$ 中取子集做乘积）求和：
\[\sum_{d \mid n} \mu(d) = \sum_{I \subseteq \{1,\ldots,r\}} (-1)^{|I|} = \sum_{k=0}^{r} \binom{r}{k} (-1)^k = (1 + (-1))^r = 0^r\]当 $r \geq 1$（即 $n \geq 2$）时等于 $0$；当 $n = 1$ 时只有 $d = 1$ 一项，$\mu(1) = 1$。$\blacksquare$
核心归结为二项式定理：$\sum_{k=0}^{r} \binom{r}{k} (-1)^k = (1-1)^r$。这在组合数学中经常出现。
4.8 Möbius 反演公式
设 $f, g$ 为算术函数，则以下两个条件等价：
\[g(n) = \sum_{d \mid n} f(d) \quad \Longleftrightarrow \quad f(n) = \sum_{d \mid n} g(d) \cdot \mu\left(\frac{n}{d}\right)\]用卷积语言表述：
\[g = f * \mathbf{1} \quad \Longleftrightarrow \quad f = g * \mu\]证明：利用 $\mathbf{1} * \mu = \varepsilon$。若 $g = f * \mathbf{1}$，则两边卷积 $\mu$：
\[g * \mu = (f * \mathbf{1}) * \mu = f * (\mathbf{1} * \mu) = f * \varepsilon = f\]反向类似（两边卷积 $\mathbf{1}$）。本质上就是可逆元素可以左右消去。$\blacksquare$
应用场景：想求 $f$ 的表达式时，若直接求不出，可先计算 $g = \sum_{d \mid n} f(d)$（往往更容易），再用 Möbius 反演得到 $f$。在数论和组合计数中应用非常广泛。
五、四元数环
5.1 历史动机：数系的扩充
- 实数 $\mathbb{R}$：一维
- 复数 $\mathbb{C} = {a + bi \mid a, b \in \mathbb{R}}$：二维，保留了所有算术性质
- 三元数的尝试 $a + bi + cj$：Hamilton 尝试过，无法保持所有性质
- 四元数 $\mathbb{H} = {a + bi + cj + dk \mid a, b, c, d \in \mathbb{R}}$：Hamilton 于 1843年 发现
5.2 四元数的运算规则
三个虚数单位 $i, j, k$ 满足：
\[i^2 = j^2 = k^2 = -1\] \[ij = k, \quad jk = i, \quad ki = j\] \[ji = -k, \quad kj = -i, \quad ik = -j\]乘法不满足交换律：$ij = k$ 但 $ji = -k$。
5.3 矩阵表示
四元数可表示为 $2 \times 2$ 复矩阵：
\[\mathbb{H} = \left\{ \begin{pmatrix} \alpha & \beta \\ -\bar{\beta} & \bar{\alpha} \end{pmatrix} \;\middle|\; \alpha, \beta \in \mathbb{C} \right\}\]写成实数形式（$\alpha = a + bi$，$\beta = c + di$）：
\[\begin{pmatrix} a + bi & c + di \\ -(c - di) & a - bi \end{pmatrix}, \quad a, b, c, d \in \mathbb{R}\]对应关系：
\[1 \leftrightarrow I_2, \quad i \leftrightarrow \begin{pmatrix} \sqrt{-1} & 0 \\ 0 & -\sqrt{-1} \end{pmatrix}, \quad j \leftrightarrow \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix}, \quad k \leftrightarrow \begin{pmatrix} 0 & \sqrt{-1} \\ \sqrt{-1} & 0 \end{pmatrix}\]5.4 验证环结构
加法封闭：两个这种形式的矩阵相加，利用共轭的线性性 $\overline{\beta_1 + \beta_2} = \bar{\beta}_1 + \bar{\beta}_2$，结果仍具有相同形式。
乘法封闭：矩阵乘法后，利用 $\overline{\bar{z}} = z$ 等共轭性质可验证结果仍在集合内。
由于四元数环是矩阵环 $M_2(\mathbb{C})$ 的子集，且对加法乘法封闭，因此继承了矩阵的结合律和分配律。
5.5 四元数的核心性质
| 性质 | 是否满足 |
|---|---|
| 加法交换律 | 是 |
| 加法结合律 | 是 |
| 乘法结合律 | 是 |
| 乘法交换律 | 否 |
| 分配律 | 是 |
| 乘法幺元 | 是（单位矩阵） |
| 非零元素可逆 | 是 |
5.6 非零元素均可逆
四元数 $a + bi + cj + dk$ 对应矩阵的行列式：
\[\det A = |\alpha|^2 + |\beta|^2 = a^2 + b^2 + c^2 + d^2\]这正是将四元数视为四维向量时，模长的平方 $|q|^2$。
只要 $a, b, c, d$ 不全为零，行列式为正实数，矩阵必可逆，且逆仍是四元数。因此每个非零四元数都有”倒数”。
5.7 除环的概念
满足以下性质的环称为除环（Division Ring，也称体/Skew Field）：
- 结合律
- 有乘法幺元
- 每个非零元素在乘法下可逆
- 但乘法不一定交换
四元数环 $\mathbb{H}$ 是历史上第一个被正式文献记载的非交换除环。
在代数中，更多使用四元数的矩阵表示；在物理和几何中，用 $i, j, k$ 表示方向的写法至今仍在使用（如描述三维旋转）。