一、理想回顾与商环的构造
1.1 理想的定义（回顾）
设 $R$ 是一个环，子集 $I \subseteq R$ 称为 $R$ 的一个理想（Ideal），如果满足：
- 加法子群：$I$ 是 $R$ 的加法子群（因为加法群是交换群，子群自动是正规子群）。
- 吸收性：对任意 $a \in I$，对任意 $r \in R$，有 $ar \in I$ 且 $ra \in I$（即乘在左边还是右边都还落在 $I$ 里）。
理想这个概念最早是在研究整数唯一分解性质的推广中提出的。有些环对元素没有唯一分解，但把元素提升到理想层面后就可以有唯一分解。
零元用 $0$ 表示，它是加法幺元。
1.2 商环的动机与构造
商环的构造是在商群的基础上进行的。因为环 $R$ 的加法部分已经是一个交换群，$I$ 作为加法子群，可以先作成加法商群 $R/I$。
加法（已有，来自商群）：对陪集 $A+I, B+I$， \((A+I) + (B+I) = (A+B) + I\)
乘法（新定义）：用 $*$ 表示， \((A+I) * (B+I) = AB + I\)
商环不是全新的概念——它是在商群这个已知结构上再加一个运算。
1.3 乘法良定义性的关键命题
由于陪集有代表元，乘法定义是否合理需要验证：如果挑选不同的代表元，运算结果是否相同？
关键命题：设 $A, B, U, V \in R$，若 $A+I = U+I$ 且 $B+I = V+I$，则 $AB + I = UV + I$。
等价表述（不用陪集语言）：若 $U-A \in I$ 且 $V-B \in I$，则 $UV - AB \in I$。
证明：因为 $U-A \in I$，存在 $i \in I$ 使 $U = A + i$；同理存在 $j \in I$ 使 $V = B + j$。
计算 $UV$： \(UV = (A+i)(B+j) = AB + Aj + iB + ij\)
由理想的吸收性（第二条），$Aj \in I$，$iB \in I$（其中 $B$ 是环中元素，$i \in I$，右边也要成立），$ij \in I$。且 $I$ 是加法子群，所以 $Aj + iB + ij \in I$。
因此 $UV - AB = Aj + iB + ij \in I$，即 $UV + I = AB + I$。证毕。
这个命题说明了为什么要在理想定义里加上第二条（吸收性）——就是为了让商环的乘法良定义。如果不是理想，多出来的项不好处理，不能保证它落在 $I$ 里。
教材上默认环有结合律，但定义的时候没要求结合律——因为理想的概念对没有结合律的环也成立。
二、商环是一个环——分配律验证
2.1 验证分配律
有了以上命题，商环的加法和乘法都是良定义的。加法的良定义性已在商群中解决。剩下只需验证：在这个加法群上配上乘法后，分配律成立，从而构成一个环。
验证左侧分配律：对陪集 $A+I, B+I, C+I$， \((A+I) * \big[(B+I) + (C+I)\big] = (A+I) * (B+C+I) = A(B+C) + I\) 根据原环 $R$ 中的分配律，$A(B+C) = AB + AC$，故 \(= (AB+AC) + I = (AB+I) + (AC+I)\) \(= \big[(A+I) * (B+I)\big] + \big[(A+I) * (C+I)\big]\)
步骤对照：
- 括号内用加法定义：$(B+I)+(C+I) = (B+C)+I$
- 乘法定义：$=(A+I) * (B+C+I) = A(B+C)+I$
- 原环分配律：$= (AB+AC)+I$
- 加法定义：$= (AB+I)+(AC+I)$
- 乘法定义：$= [(A+I)(B+I)] + [(A+I)(C+I)]$
由于乘法不一定交换，需要验证两侧分配律。如果乘法可交换，验证一侧就够——但一般需验证两侧。
右侧分配律的验证完全类似。
2.2 结论
商集 $R/I$ 在上述加法和乘法下构成一个环，称为 $R$ 对理想 $I$ 的商环（Quotient Ring），记作 $R/I$。
三、商环的经典例子：Z/nZ（剩余类环）
3.1 从整数环 Z 出发
取 $R = \mathbb{Z}$（通常加法和乘法），取理想 $I = n\mathbb{Z} = {\,nk \mid k \in \mathbb{Z}\,}$（$n$ 的全体倍数）。
$n\mathbb{Z}$ 是一个理想：首先是加法子群，且 $n$ 的倍数乘上任何整数仍是 $n$ 的倍数。
商环 $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ 中：
- 加法：$(x + n\mathbb{Z}) + (y + n\mathbb{Z}) = (x+y) + n\mathbb{Z}$（模 $n$ 加法）
- 乘法：$(x + n\mathbb{Z}) * (y + n\mathbb{Z}) = xy + n\mathbb{Z}$（模 $n$ 乘法）
3.2 两种等价描述
这个商环也可以不用陪集语言，直接在集合 ${0,1,\ldots,n-1}$ 上定义：
- 模 $n$ 加法：$a \oplus b = (a+b) \bmod n$
- 模 $n$ 乘法：$a \odot b = ab \bmod n$
这两种定义给出的是”实质上一样”的环。严格说明为什么一样，需要用到环同构的概念。
四、平凡理想与矩阵环的理想分类
4.1 平凡理想
对任意环 $R$，总有两个理想：
- ${0}$（零理想）：仅含零元素
- $R$ 自身
这两个称为平凡理想（Trivial Ideals）。
对一个给定的环，能不能把所有的理想都描述出来，这是环论中很大很重要的问题。整数环的理想我们已经知道——它的加法子群恰好都是某个自然数的倍数生成，又都是理想，所以是 ${n\mathbb{Z} \mid n \in \mathbb{N}}$。多项式环的理想也可以完全确定（和整数环比较像），但多数环没有办法给出清晰的描述。
4.2 矩阵环 $M_n(\mathbb{C})$ 只有平凡理想
结论：全体 $n$ 阶复方阵 $M_n(\mathbb{C})$ 在矩阵加法和乘法下构成一个环，它的理想只有 ${0}$ 和 $M_n(\mathbb{C})$ 自身。这样的环（只有平凡理想）称为单环（Simple Ring）。
这是早期环论中一个很经典的结果。在特定的附加条件下（如它还做成复数上的线性空间），这样的环差不多就是矩阵环（或若干个矩阵环的直和）。
4.3 $n=1$ 的情形：复数域
$M_1(\mathbb{C}) \cong \mathbb{C}$，即就是在通常的复数加法和乘法下。
证明思路：设 $I$ 是 $\mathbb{C}$ 的一个理想，且 $I \neq {0}$。取非零元 $u \in I$。
由于 $u \neq 0$ 且 $\mathbb{C}$ 中每个非零元都有乘法逆元 $u^{-1}$，有： \(1 = u^{-1} \cdot u \in I\) （因为 $u \in I$，$u^{-1}$ 是环中元素，由理想的吸收性，$u^{-1} \cdot u \in I$）
有了 $1 \in I$ 后，对任意 $a \in \mathbb{C}$： \(a = a \cdot 1 \in I\)
因此 $I = \mathbb{C}$。证毕。
这个证明的核心是”把 1 给乘出来”——任何一个非零数都有逆，乘上逆就把 1 造出来了，有了 1 就等于有了全部。
这个证明对实数、有理数也成立，因为实数/有理数中每个非零元也有逆。但对整数就通不过——整数中取倒数不是整数，跑到外面去了。实际上，这个证明对任何域（Field）都成立，域的定义就是每个非零元素都有乘法逆元。
4.4 $n \geq 2$ 的情形：矩阵环
对于 $n \geq 2$，不能直接照搬 $n=1$ 的证明，因为非零矩阵未必可逆。
证明策略：设 $I$ 是 $M_n(\mathbb{C})$ 的非零理想，取非零矩阵 $A \in I$。目标是证明单位矩阵 $I_n$ 属于 $I$（有了单位矩阵就回到了 $n=1$ 的逻辑）。
第一步：利用相抵标准型。
线性代数中的结论：对任意非零矩阵 $A$，存在可逆矩阵 $P, Q$ 使得： \(PAQ = \begin{bmatrix} 1 & & & \\ & \ddots & & \\ & & 1 & \\ & & & 0 & \cdots \\ &&& 0 \end{bmatrix}\) 即主对角线上有 $r$ 个 $1$（$r \geq 1$，因为 $A \neq 0$），其余位置全为 $0$ 的对角矩阵。
由于 $A \in I$ 且 $P, Q$ 可逆，由理想的吸收性：
- $PA \in I$（左乘 $P$）
- $PAQ \in I$（右乘 $Q$）
所以上面对角矩阵（至少左上角有一个 $1$）属于 $I$。
第二步：从相抵标准型造出”矩阵单位” $E_{ii}$。
定义矩阵单位（Matrix Unit）$E_{ij}$：$(i,j)$ 位置为 $1$，其余全为 $0$ 的 $n$ 阶方阵。矩阵单位的乘法性质： \(E_{ij} \cdot E_{jk} = E_{ik}\)
利用此性质，从 $PAQ \in I$ 出发，通过左乘或右乘合适的矩阵（均为环中元素），可以逐个得到每个 $E_{ii}$（$i=1,\ldots,n$）都属于 $I$。
以二阶为例：若 $\begin{bmatrix}1 & 0 \ 0 & 0\end{bmatrix} \in I$，则 \(\begin{bmatrix}0 & 1 \\ 0 & 0\end{bmatrix} \begin{bmatrix}1 & 0 \\ 0 & 0\end{bmatrix} \begin{bmatrix}0 & 0 \\ 1 & 0\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}0 & 0 \\ 0 & 1\end{bmatrix} \in I\)
三阶及更高阶同理。
第三步：加出单位矩阵。
每个 $E_{ii} \in I$，而单位矩阵 \(I_n = E_{11} + E_{22} + \cdots + E_{nn}\)
由于 $I$ 是加法子群，求和后仍在 $I$ 中，因此 $I_n \in I$。
有了单位矩阵后，对任意矩阵 $B \in M_n(\mathbb{C})$： \(B = B \cdot I_n \in I\)
所以 $I = M_n(\mathbb{C})$。证毕。
这个证明用到了矩阵乘法（线性代数的知识），从环和理想的角度去描述这个问题可能不太常见，但证明中用到的线性代数知识本身并不难。
五、环同态
5.1 环同态的定义
设 $R, S$ 为两个环，映射 $f: R \to S$ 称为环同态（Ring Homomorphism），如果对任意 $A, B \in R$，同时满足：
- 保持加法：$f(A+B) = f(A) + f(B)$
- 保持乘法：$f(AB) = f(A) \cdot f(B)$
教材上可能还要求保持乘法幺元（把幺元映到幺元）。这里暂时不要求——因为定义环时除了分配律外没有更多要求。但保持加法和乘法是环同态最核心的部分。
不同的环有不同的运算，但为了简洁，统一用 $+$ 和 $\cdot$ 表示。
5.2 环同态与群同态的关系
环同态首先是一个加法群同态（因为保持加法），所以群同态的所有性质在加法层面自动保持。环同态是在群同态的基础上”再加码”。正如有了商群才有同态定理，有了商环也有环的同态定理。
研究同态的意义在于——两个环可能看起来元素集合不同、运算不同，但如果它们之间存在适当的环同态（甚至同构），从代数结构的角度就可以把它们看成”一种代数结构”。这和图的同构是一个道理：两个图看上去不同，但如果存在同构，就可以看成同一个图。
5.3 例子一：复数嵌入到二阶实矩阵
定义映射 $f: \mathbb{C} \to M_2(\mathbb{R})$： \(f(a + bi) = \begin{bmatrix} a & b \\ -b & a \end{bmatrix}\)
验证乘法保持： \(f(a+bi) \cdot f(c+di) = \begin{bmatrix} a & b \\ -b & a \end{bmatrix} \begin{bmatrix} c & d \\ -d & c \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} ac-bd & ad+bc \\ -(ad+bc) & ac-bd \end{bmatrix} = f\big((ac-bd) + (ad+bc)i\big)\)
恰好等于复数乘法的结果（用到 $i^2 = -1$ 化简）。加法保持性更容易验证。
这可以看成复数的一种表示方式——如果不想人为引入虚数单位，可以直接把这种特殊形状的实矩阵当成复数来用。在这里，虚数单位 $i$ 对应的是 $\begin{bmatrix}0 & 1 \ -1 & 0\end{bmatrix}$，它的平方恰好是负的二阶单位矩阵 $\begin{bmatrix}-1 & 0 \ 0 & -1\end{bmatrix}$。
此外，这个映射还保持”模长”——左边的模长平方正好等于右边矩阵的行列式。
5.4 例子二：多项式环的赋值同态
考虑复数上的多项式环 $\mathbb{C}[x]$。固定一个复数 $c \in \mathbb{C}$，定义赋值映射 $f: \mathbb{C}[x] \to \mathbb{C}$： \(f(H) = H(c)\) 即将每个多项式 $H(x)$ 映射为它在 $x=c$ 处的取值。
虽然 $H$ 严格来说并不是一个”从 $\mathbb{C}$ 到 $\mathbb{C}$ 的映射”（它是多项式），但约定用 $H(c)$ 这种记号来表示在一点处的赋值。这很重要——因为求多项式的根本质上就是考虑 $c$ 什么时候使 $H(c)=0$。
可以验证 $f$ 是一个环同态（由多项式乘法的定义保证）： \(f(HG) = (HG)(c) = H(c) \cdot G(c) = f(H) \cdot f(G)\)
与根的关系：$H(c)=0$ 当且仅当 $x-c$ 整除 $H(x)$（剩余定理），后续会展开讲。
六、环同态的核是理想
6.1 核的定义
环同态 $f: R \to S$ 的核（Kernel）定义为： \(\ker f = \{\,a \in R \mid f(a) = 0_S\,\}\)
其中 $0_S$ 是 $S$ 的加法幺元。
由于 $f$ 首先是加法群同态，由群论已知 $\ker f$ 是 $R$ 的加法正规子群。
6.2 核是理想
结论：$\ker f$ 不仅是加法子群，还是一个理想。
证明：
已知 $\ker f$ 是加法子群（群同态的性质，不用重新证明）。
还需验证吸收性：对任意 $a \in \ker f$（即 $f(a)=0$）和任意 $b \in R$，需证 $ab \in \ker f$ 且 $ba \in \ker f$。
\(f(ab) = f(a) \cdot f(b) \quad \text{（环同态保持乘法）}\) \(= 0 \cdot f(b) = 0 \quad \text{（环中任何元素乘 $0$ 等于 $0$）}\)
因此 $ab \in \ker f$。
同理： \(f(ba) = f(b) \cdot f(a) = f(b) \cdot 0 = 0\)
因此 $ba \in \ker f$。证毕。
这和群中的同态定理完全对应——群同态的核是正规子群，而环同态的核是理想。很多结果都是上半学期群论性质的进一步推进：理想的子群部分群同态已经”包招”了，加上乘法条件后就升级成了理想。