一、环同态与环同构回顾
1.1 环同态的定义
环同态与群同态类似，研究两个环之间的映射。设 $R$ 和 $S$ 是两个环，映射 $F: R \to S$ 要成为环同态，需要保持两个运算：
- 保持加法：$F(a + b) = F(a) + F(b)$（即加法群同态）
- 保持乘法：$F(ab) = F(a)F(b)$
注意等式左边 $ab$ 是环 $R$ 中的乘法，右边 $F(a)F(b)$ 是环 $S$ 中的乘法。记法上不区分，但从上下文可知分别属于哪个环。
研究代数结构之间的映射时，保持运算是前提。环有加法和乘法两个运算，因此环同态必须同时保持这两个运算。
由于环的加法部分构成一个交换群，环同态的加法部分就是加法群的群同态。
1.2 环同构
环同构不仅是环同态，还要求是一个双射（一一对应）：
- 单射：不同元素映射到不同元素
- 满射：像集等于整个 $S$
两个代数结构可能底层集合不同、运算定义不同，但如果能用保持运算的双射联系起来，那么从环结构的角度可以视为同一个对象。代数结构不仅研究单个环，也研究环与环之间的结构关系。
1.3 同态的核
环同态 $F$ 的核（kernel）定义为加法意义下的核：
\[\ker F = \{a \in R \mid F(a) = 0\}\]注意：用 $0$ 统一表示每个环中加法下的幺元（零元），即使涉及多个环也不区分记号。
核不是新概念，但因为环有更丰富的乘法结构，核作为理想的性质也更为丰富。同态定理的核心仍然是核，这与群同态定理中的思路一致。
二、环同构的例子：矩阵环与线性变换环
2.1 两个环的定义
固定一个正整数 $n$，考虑两个环：
环 1：$M_n(\mathbb{R})$，实数域上 $n \times n$ 实矩阵全体，运算是矩阵加法和矩阵乘法。
环 2：$\text{End}_{\mathbb{R}}(\mathbb{R}^n)$，$\mathbb{R}^n$ 上全体线性变换（linear transformation），其中：
- 加法：逐点相加，$(F+G)(\alpha) = F(\alpha) + G(\alpha)$
- 乘法：映射的复合，$(F \cdot G)(\alpha) = F(G(\alpha))$
$\text{End}_{\mathbb{R}}(\mathbb{R}^n)$ 在这样定义的加法和复合下构成一个环。加法通常按分量相加，而乘法可能随对象不同而有不同形式，这正是许多环结构的共同特征。
线性变换的定义回顾：一个映射 $T: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^n$ 是线性变换当且仅当：
- 保持加法：$T(\alpha + \beta) = T(\alpha) + T(\beta)$
- 保持数乘：$T(\lambda \alpha) = \lambda T(\alpha)$，$\forall \lambda \in \mathbb{R}$
2.2 构造同构映射 $\Phi$
从矩阵 $A$ 出发，定义一个线性变换 $\Phi_A$：
\[\Phi_A(\alpha) = \alpha A \quad (\alpha \in \mathbb{R}^n \text{ 视为行向量})\]这里 $\alpha$ 是 $n$ 元行向量，右乘 $n$ 阶矩阵 $A$，结果仍为行向量。由于矩阵乘法满足分配律和与数乘的相容性，$\Phi_A$ 确实是线性变换。
定义映射
\[\Phi: M_n(\mathbb{R}) \to \text{End}_{\mathbb{R}}(\mathbb{R}^n), \quad A \mapsto \Phi_A\]要证明它给出环同构，需要验证它是双射，并且保持加法和乘法。
2.3 验证单射性
若 $\Phi_A = \Phi_B$，则对任意 $\alpha \in \mathbb{R}^n$ 有
\[\alpha A = \alpha B\]即
\[\alpha(A - B) = 0\]由线性代数中已知结论：若一个 $n$ 阶方阵左乘任意行向量都为零向量，则该矩阵必为零矩阵；否则取该矩阵某个非零列对应的行向量即可推出矛盾。因此 $A - B = 0$，即 $A = B$。
2.4 验证满射性
任取线性变换 $F \in \text{End}_{\mathbb{R}}(\mathbb{R}^n)$，需要找到矩阵 $A$ 使得 $\Phi_A = F$。
取标准单位向量 $e_1, e_2, \ldots, e_n$（$e_i$ 第 $i$ 个分量为 1，其余为 0），它们是 $\mathbb{R}^n$ 的一组基。对任意 $\alpha = (\alpha_1, \ldots, \alpha_n)$，有：
\[\alpha = \sum_{i=1}^n \alpha_i e_i\]利用 $F$ 的线性性：
\[F(\alpha) = F\left(\sum_{i=1}^n \alpha_i e_i\right) = \sum_{i=1}^n \alpha_i F(e_i)\]这里用到了线性变换保持加法和数乘的性质。
每个 $F(e_i)$ 是一个 $n$ 元行向量。将这些行向量依次拼成矩阵：
\[A = \begin{bmatrix} F(e_1) \\ F(e_2) \\ \vdots \\ F(e_n) \end{bmatrix}\]则
\[F(\alpha) = \alpha A = \Phi_A(\alpha)\]即 $F = \Phi_A$。这个矩阵 $A$ 就是 $F$ 在标准基下的表示矩阵，它只依赖于 $F$，与具体的 $\alpha$ 无关。
有限维线性空间上的线性变换可以完整地用矩阵刻画。矩阵乘法的重要性一方面来自线性方程组的计算，另一方面来自线性变换复合的描述；矩阵把抽象的线性变换具体化为可计算对象。
2.5 验证保持运算
保持加法：利用矩阵乘法的分配律：
\[\Phi_{A+B}(\alpha) = \alpha(A+B) = \alpha A + \alpha B = \Phi_A(\alpha) + \Phi_B(\alpha)\]保持乘法：注意行向量写法下乘法顺序倒置：
\[\Phi_{AB}(\alpha) = \alpha(AB) = (\alpha A)B = \Phi_B(\Phi_A(\alpha)) = (\Phi_B \circ \Phi_A)(\alpha)\]因此
\[\Phi_{AB} = \Phi_B \circ \Phi_A\]若取列向量写法（$\alpha$ 写成列向量，矩阵左乘），则复合顺序与矩阵乘法顺序自然保持一致。两种写法本质上等价，只是记号选择不同。
2.6 可逆矩阵与线性变换的双射性
\[A \text{ 是可逆矩阵} \iff \Phi_A \text{ 是双射}\]也就是说，$\Phi_A$ 既是单射又是满射时，$A$ 可逆。
在有限维线性空间上，线性变换的单射性和满射性等价。这不同于一般映射，因为一般映射中双射比单射更强。用矩阵语言表述就是：对于 $n \times n$ 方阵，左逆、右逆与可逆等价。
三、环同态定理
3.1 核是理想
回顾理想定义：$I \subseteq R$ 是理想，要求：
- $I$ 是加法子群
- 对任意 $r \in R$，$a \in I$，有 $ra \in I$ 且 $ar \in I$
性质：若 $F: R \to S$ 是环同态，则 $\ker F$ 是 $R$ 的理想。
验证：由于 $F$ 首先是加法群同态，$\ker F$ 是加法子群。对任意 $u \in \ker F$（即 $F(u) = 0$），$a \in R$：
\[F(au) = F(a)F(u) = F(a) \cdot 0 = 0\]所以 $au \in \ker F$。同理可证 $ua \in \ker F$。因此 $\ker F$ 是理想。
3.2 商环的定义复习
有了理想 $I$，可以构造商环 $R/I$：
- 加法：$(a + I) + (b + I) = (a + b) + I$（商群结构）
- 乘法：$(a + I)(b + I) = ab + I$
乘法的合理性依赖于 $I$ 是理想这一事实。如果 $I$ 仅是加法子群而不是理想，乘法定义可能依赖代表元的选择，从而不能良定义。
3.3 环同态定理的陈述
设 $F: R \to S$ 是环同态，$I = \ker F$。定义映射：
\[\overline{F}: R/I \to S, \quad \overline{F}(a + I) = F(a)\]则：
- $\overline{F}$ 是环同态，且是单射
- $\text{Im}(\overline{F}) = \text{Im}(F)$
- 特别地，若 $F$ 是满射，则 $\overline{F}$ 是环同构，即 $R/I \cong S$
这个定理本质上是群同态定理在环结构中的补充。忘掉乘法结构时，映射定义的合理性、单射性和像集相等都来自加法群上的同态定理；环论中额外需要补证的是 $\overline{F}$ 保持乘法。
3.4 保持乘法的证明
任取 $a + I, b + I \in R/I$：
\[\overline{F}((a+I)(b+I)) = \overline{F}(ab + I) = F(ab)\]由 $F$ 是环同态：
\[F(ab) = F(a)F(b)\]再由 $\overline{F}$ 的定义：
\[F(a)F(b) = \overline{F}(a+I) \cdot \overline{F}(b+I)\]因此
\[\overline{F}((a+I)(b+I)) = \overline{F}(a+I) \cdot \overline{F}(b+I)\]即 $\overline{F}$ 保持乘法。
这个证明使用了两个关键条件：$F$ 保持乘法，以及商环乘法按 $(a+I)(b+I)=ab+I$ 定义。商环的乘法定义正是为了使同态定理能够成立。
3.5 应用举例：$\mathbb{Z}/n\mathbb{Z} \cong \mathbb{Z}_n$
考虑自然同态
\[F: \mathbb{Z} \to \mathbb{Z}_n, \quad F(a) = a \bmod n\]即 $a$ 除以 $n$ 的余数。
- $F$ 是满射，因为任何余数 $0,\ldots,n-1$ 都能取到
- $\ker F = \{a \in \mathbb{Z} \mid a \equiv 0 \pmod{n}\} = n\mathbb{Z}$，即全体 $n$ 的倍数
- $n\mathbb{Z}$ 是 $\mathbb{Z}$ 的理想，因为 $n$ 的倍数乘任何整数仍是 $n$ 的倍数
由环同态定理：
\[\mathbb{Z}/n\mathbb{Z} \cong \mathbb{Z}_n\]因此，模 $n$ 的加法乘法既可以理解成商环 $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$，也可以理解成集合 $\{0,1,\ldots,n-1\}$ 上的模运算。二者是同构的，只是表示方式不同：商环视角保留陪集语言，模运算视角直接使用余数代表元。
四、结合环与特殊环类
4.1 乘法结合律与幺元的基本假设
在常见的环论讨论中，环通常进一步假设满足乘法结合律且有乘法幺元。换句话说，环的乘法部分构成一个幺半群（monoid）。
具体地：
- $(R, \cdot)$ 是幺半群：乘法满足结合律 $a(bc) = (ab)c$，且存在幺元 $1_R$，使得 $1_R \cdot a = a \cdot 1_R = a$
- $(R, +)$ 是交换群
- 分配律联系两种运算：$a(b+c) = ab + ac$，$(a+b)c = ac + bc$
结合律和幺元是乘法内部的性质，分配律则是联系加法与乘法的桥梁。没有分配律时，两种运算只是并列存在的结构，不构成通常意义下的环论对象。
4.2 乘法幺元与加法幺元
非平凡环中，乘法幺元 $1_R$ 和加法幺元 $0_R$ 不相等。
若 $1_R = 0_R$，则对任意 $a \in R$：
- 一方面 $a \cdot 1_R = a$（幺元性质）
- 另一方面 $a \cdot 0_R = 0_R$（零乘任何元素得零）
因此 $a = 0_R$ 对所有 $a$ 成立，环退化为只有一个元素 $\{0\}$ 的零环。
4.3 四类特殊环的定义
在乘法有结合律和幺元的前提下，可以引入四类逐级特殊的环。
（1）交换环（Commutative Ring）
乘法满足交换律：
\[ab = ba \quad (\forall a, b \in R)\]交换律不是所有环的普遍性质。最熟悉的反例是 $n \geq 2$ 阶矩阵环，其矩阵乘法一般不可交换。
（2）整环（Integral Domain）
两个非零元素相乘一定不等于零：
\[\forall a, b \in R,\; a \neq 0,\; b \neq 0 \;\Rightarrow\; ab \neq 0\]等价地，若 $ab = 0$，则 $a = 0$ 或 $b = 0$。这也称为无零因子。
数域中的直觉是两个非零数相乘不为零，但一般环中不必如此。例如矩阵环中两个非零矩阵相乘可能得到零矩阵。
（3）除环（Division Ring / Skew Field）
每个非零元素都有乘法逆元：
\[\forall a \in R,\; a \neq 0,\; \exists b \in R \text{ 使得 } ab = ba = 1_R\]用群的语言说，全体非零元素 $R \setminus \{0\}$ 在乘法下构成一个群。
四元数环 $\mathbb{H}$ 是除环但不是域，因为它有逆元但乘法不交换。
（4）域（Field）
域是交换的除环。也就是说，它同时满足：
- 乘法交换律：$ab = ba$
- 非零元有逆：$\forall a \neq 0,\; \exists b,\; ab = 1_R$
由于交换律成立，逆只需写一边：$ab = 1_R$ 即可推出 $ba = 1_R$。
4.4 蕴含关系
从概念外延来看：
\[\text{域} \subset \text{除环} \subset \text{整环}\]域是除环加交换律；除环是整环的一类特殊情形。除环一定是整环的原因在于，非零元可逆会排除非零零因子的存在。
从历史发展看，人们最先研究的是域，如有理数域；随后发现四元数这类牺牲交换律但保留逆元的结构；再进一步抽象出整环和一般环。从定义组织上通常从一般到特殊，但历史上往往是从具体对象逐步一般化。
4.5 整环的消去律
命题：整环中成立消去律。
设 $R$ 是整环，$a, b, c \in R$，$a \neq 0$：
- 若 $ab = ac$，则 $b = c$（左消去）
- 若 $ba = ca$，则 $b = c$（右消去）
证明（以左消去为例，右消去类似）：
由 $ab = ac$ 得 $ab - ac = 0$，用分配律：
\[a(b - c) = 0\]因为 $R$ 是整环且 $a \neq 0$，两个非零元素相乘不为零；而现在乘积为零，说明另一个因子必为零：
\[b - c = 0 \;\Rightarrow\; b = c\]这就是熟悉的数的消去律在整环中的抽象形式。一般环中不能直接消去，必须依赖无零因子性质。
4.6 除环推出整环
命题：除环一定是整环。
证明：设 $R$ 是除环。需证若 $ab = 0$ 且 $a \neq 0$，则 $b = 0$。
由于 $a \neq 0$ 且 $R$ 是除环，存在 $c \in R$ 使得 $ca = 1_R$。对等式 $ab = 0$ 两边左乘 $c$：
\[c(ab) = c \cdot 0 = 0\]用结合律：
\[(ca)b = 0 \;\Rightarrow\; 1_R \cdot b = 0 \;\Rightarrow\; b = 0\]因此除环中不存在非零零因子，即除环是整环。
类似地，若 $b \neq 0$，也可以用 $b$ 的逆从右边相乘推出 $a = 0$。
4.7 有限整环是除环
整环不一定是除环。例如整数环 $\mathbb{Z}$ 是整环，但 $2$ 没有乘法逆。加上有限条件后，有如下结论：
定理：有限整环一定是除环。
证明思路可以利用群论结论：有限集合上若有结合律和消去律，则每个非零元素都可逆，从而非零元在乘法下构成群。
4.8 有限除环是域
Wedderburn 小定理：有限除环一定是域，即交换律在有限除环中可以推出。
除环比域少一个交换律条件，但在有限集合上，乘法交换律不是额外假设，而是定理结论。证明可利用群的中心（center）等工具。
推论：在有限情形下，
\[\text{整环} \Rightarrow \text{除环} \Rightarrow \text{域}\]因此有限整环、有限除环和有限域在此意义下紧密相连。
五、模 $n$ 剩余类环 $\mathbb{Z}_n$
5.1 $\mathbb{Z}_n$ 的基本性质
模 $n$ 剩余类环
\[\mathbb{Z}_n = \{0, 1, \ldots, n-1\}\]运算为模 $n$ 的加法和乘法：
- $a + b \pmod{n}$
- $a \cdot b \pmod{n}$
$\mathbb{Z}_n$ 的基本性质：
- 有乘法结合律，继承自整数乘法
- 有乘法幺元 $1$
- 是交换环，因为整数乘法可交换
5.2 $n$ 不是素数时：$\mathbb{Z}_n$ 不是整环
以 $n = 6$ 为例：
\[2 \times 3 = 6 \equiv 0 \pmod{6}\]在 $\mathbb{Z}_6$ 中，$2 \neq 0$，$3 \neq 0$，但 $2 \times 3 = 0$。这违反了整环定义，所以 $\mathbb{Z}_6$ 不是整环，更不可能是域。
一般证明：若 $n$ 不是素数，则存在 $a$ 满足 $2 \leq a \leq n-1$ 且 $a \mid n$。令 $b = n/a$，则 $2 \leq b \leq n-1$。
在 $\mathbb{Z}_n$ 中：
\[a \neq 0,\quad b \neq 0,\quad a \times b = n \equiv 0 \pmod{n}\]因此 $\mathbb{Z}_n$ 有非零零因子，不是整环。
本质区别在于 $n$ 是否有非平凡因子分解。$n$ 是合数时，$\mathbb{Z}_n$ 必然有零因子。
5.3 $n = 3$ 时：$\mathbb{Z}_3$ 是域
以 $n = 3$ 为例，$\mathbb{Z}_3 = \{0, 1, 2\}$：
- $1 \times 1 \equiv 1 \pmod{3}$，即 $1^{-1} = 1$
- $2 \times 2 = 4 \equiv 1 \pmod{3}$，即 $2^{-1} = 2$
每个非零元素都有乘法逆，且交换律成立，因此 $\mathbb{Z}_3$ 是域。
5.4 核心定理：$n$ 是素数 $\iff$ $\mathbb{Z}_n$ 是域
定理：
\[\mathbb{Z}_n \text{ 是域} \iff \mathbb{Z}_n \text{ 是整环} \iff n \text{ 是素数}\]证明 $n$ 是素数 $\Rightarrow \mathbb{Z}_n$ 是域：
设 $n$ 是素数。$\mathbb{Z}_n$ 已是交换环，只需证明每个非零元 $a$（$1 \leq a \leq n-1$）都有乘法逆。
由于 $n$ 是素数且 $a$ 在 $1$ 到 $n-1$ 之间，$a$ 不可能是 $n$ 的倍数，因此
\[\gcd(a, n) = 1\]由 Bézout 恒等式，存在整数 $u, v$，使得：
\[ua + vn = 1\]两边模 $n$：
\[ua \equiv 1 \pmod{n}\]令 $b = u \bmod n$，使 $b$ 落在 $0$ 到 $n-1$ 之间，则
\[b \cdot a \equiv 1 \pmod{n}\]由于 $n \geq 2$ 且余数为 $1$，$b$ 不可能为 $0$，故 $b$ 是 $a$ 在 $\mathbb{Z}_n$ 中的乘法逆元。
关键性质是：素数 $p$ 与任意不被 $p$ 整除的整数互素，因此总可以用 Bézout 恒等式构造逆元。这就是模素数剩余类构成域的代数表述。
综合合数情形的零因子证明，可得：
\[n \text{ 是素数} \iff \mathbb{Z}_n \text{ 是整环} \iff \mathbb{Z}_n \text{ 是域}\]当 $n$ 是合数时，$\mathbb{Z}_n$ 有零因子，连整环都不是，更不可能是域。