一、域上多项式环的回顾
1.1 多项式作为序列
在域 $F$ 上，多项式定义为 $F$ 上的序列（sequence），要求只有有限个分量非零。即：
\[F[x] = \{(a_0, a_1, a_2, \ldots) \mid a_i \in F,\; \text{仅有有限个 } a_i \neq 0\}\]- 加法：按分量相加
- 乘法：设 $\alpha = (a_i), \beta = (b_i)$，其乘积的第 $k$ 个分量为 $\sum_{i=0}^{k} a_i b_{k-i}$
在这个定义下，两个多项式相乘仍为多项式（有限个非零分量的序列），因此多项式全体 $F[x]$ 在加法和乘法下构成一个环。
1.2 次数的定义
对一个多项式 $f \in F[x]$，其次数（degree）记为 $\deg f$：
- 若 $f = 0$（全零序列），定义 $\deg 0 = -\infty$
- 若 $f \neq 0$，$\deg f$ 定义为使得 $a_i \neq 0$ 的最大下标 $i$
注：通常用 $X$ 的记号来写多项式，如 $f(X) = 1 + 3X + X^3$，显然其次数为 $3$。但抽象定义中，多项式就是序列，$X$ 只是表示不定元。
1.3 次数的基本性质
设 $f, g \in F[x]$ 为两个多项式，$a \in F$ 为非零常数：
(1) 加法的次数不等式
\[\deg(f + g) \leqslant \max\{\deg f,\; \deg g\}\]若 $\deg f < \deg g$，则 $\deg(f + g) = \deg g$。
(2) 数乘不改变次数
\[\deg(a \cdot f) = \deg f \quad (\text{其中 } a \in F,\; a \neq 0)\]数乘即将 $f$ 的每个分量乘以同一个常数 $a$。
(3) 乘法的次数等式（最重要）
\[\deg(f \cdot g) = \deg f + \deg g\]证明要点：设 $\deg f = m$，$\deg g = n$（均不等于零多项式）。
- 首先断言 $(fg)$ 在 $m+n$ 位置处的系数等于 $f_m \cdot g_n \neq 0$（首项系数相乘），因此 $m+n$ 处系数非零。
- 其次证明对任意 $k \geqslant m+n+1$，$(fg)$ 的第 $k$ 个系数必定为零。这是因为在求和式 $\sum_{i=0}^{k} f_i g_{k-i}$ 中，对任意 $i$，要么 $i \geqslant m+1$（导致 $f_i = 0$），要么 $k-i \geqslant n+1$（导致 $g_{k-i} = 0$），总之每一项都有零因子，和为零。
因此 $\deg(fg) = m + n$。
这条性质非常重要，类似于整数中”绝对值”的作用。多项式的次数在整除性和理想结构的研究中，扮演的角色与整数的绝对值完全平行——带余除法、最大公因式、唯一分解等结论本质上都依赖这条性质。
二、多项式的整除与带余除法
2.1 整除的定义
设 $F$ 为域，$f, g \in F[x]$。
若存在 $h \in F[x]$ 使得 $g = f \cdot h$，则称 $f$ 整除 $g$，记为 $f \mid g$。此时 $f$ 称为 $g$ 的因式（factor），$g$ 称为 $f$ 的倍式（multiple）。
这个定义与整数整除的定义完全一致，只不过把整数环换成了多项式环。多项式环和整数环在整除性、带余除法、因子分解等方面有着平行的结构——这不是偶然的，而是它们作为主理想环这个更一般结构的特例所导致的。
2.2 带余除法
定理（多项式的带余除法，Euclidean Division）：设 $f, g \in F[x]$，且 $f \neq 0$。则存在唯一的一对多项式 $q, r \in F[x]$，满足：
\[g = q \cdot f + r\]且 $\deg r < \deg f$（当 $r = 0$ 时理解为 $\deg r = -\infty < \deg f$）。
类比：这与整数的带余除法 $b = qa + r$（$0 \leqslant r < a$）完全平行。在整数中，余数必须小于除数（通过绝对值比较）；在多项式中，余式的次数必须严格小于除式的次数。这里 $g$ 称为被除式，$f$ 称为除式，$q$ 称为商式，$r$ 称为余式。
唯一性的证明：
假设有两组表示 $g = qf + r = pf + s$，其中 $r, s$ 的次数均小于 $\deg f$。
两式相减得：$(q-p)f = s - r$。
取次数： \(\deg((q-p)f) = \deg(q-p) + \deg f \quad \text{（若 } q-p \neq 0\text{）}\)
而 $\deg(s-r) \leqslant \max{\deg s, \deg r} < \deg f$。
若 $q-p \neq 0$，则 $\deg(q-p) \geqslant 0$，于是 $\deg((q-p)f) \geqslant \deg f$，与 $\deg(s-r) < \deg f$ 矛盾。故 $q-p = 0$，即 $q = p$，进而 $r = s$。
证明思路：唯一性的证明用到了次数性质（乘法的次数等式和加法的次数不等式），而不依赖于具体的构造方式。存在性需要构造，唯一性则需要抽象的性质来保证。
存在性的证明（对 $\deg g$ 使用归纳法）：
记 $\deg f = m$，写出 $f = f_m X^m + h$，其中 $\deg h \leqslant m-1$。记 $\deg g = n$。
-
基础步：若 $\deg g < \deg f$（即 $n < m$），则取 $q = 0,\; r = g$，显然满足要求。
-
归纳步：若 $n \geqslant m$。写出 $g = g_n X^n + \widetilde{h}$（$\deg \widetilde{h} \leqslant n-1$）。
为消去最高次项，构造项 $\frac{g_n}{f_m} X^{n-m} \cdot f$。计算得：
\[\frac{g_n}{f_m} X^{n-m} \cdot f = g_n X^n + \text{（次数 } \leqslant n-1 \text{ 的项）}\]令 $g_1 = g - \frac{g_n}{f_m} X^{n-m} \cdot f$，则 $\deg g_1 \leqslant n-1 < \deg g$。
由归纳假设，存在 $p, r \in F[x]$ 使 $g_1 = p \cdot f + r$ 且 $\deg r < \deg f$。
从而： \(g = g_1 + \frac{g_n}{f_m} X^{n-m} \cdot f = \left(p + \frac{g_n}{f_m} X^{n-m}\right) \cdot f + r\)
取 $q = p + \frac{g_n}{f_m} X^{n-m}$ 即得所需表示。
直观理解：这个证明就是多项式”长除法”（列竖式）的形式化——每次消去被除式的最高次项，使其次数不断降低，直到余式的次数小于除式为止。
2.3 余式定理与根的关系
定义多项式的赋值（evaluation）：对 $a \in F$，将 $X$ 替换为 $a$，得到
\[f(a) = f_0 + f_1 a + f_2 a^2 + \cdots + f_m a^m \in F\]若 $f(a) = 0$，则称 $a$ 为 $f$ 在 $F$ 中的根（root）。
余式定理：设 $g \in F[x]$，$a \in F$。则 $a$ 是 $g$ 的根的充分必要条件是 $(X - a) \mid g$。
证明：对 $g$ 和 $(X-a)$ 做带余除法：
\[g = q \cdot (X - a) + r\]由于除式 $X-a$ 的次数为 $1$，余式 $r$ 的次数严格小于 $1$，故 $r$ 只能是常数（即域 $F$ 中的一个元素，或 $0$）。
将 $X = a$ 代入：
\[g(a) = q(a) \cdot (a - a) + r = q(a) \cdot 0 + r = r\]因此 $g(a) = 0 \iff r = 0 \iff (X-a) \mid g$。$\square$
更一般地说，由带余除法可以直接看出：$f$ 是 $g$ 的因式当且仅当带余除法中余式为零。余式定理是这个一般事实在除式为一次多项式 $(X-a)$ 时的特殊情况。
三、多项式根的个数上限与代数基本定理
3.1 根的个数不超过次数
定理：设 $g \in F[x]$ 为非零多项式，$\deg g = n$。则 $g$ 在 $F$ 中的不同根的个数不超过 $n$（重根只计一次）。
证明（对 $n$ 使用归纳法）：
-
基础步 $n = 0$：零次多项式 $g = a \neq 0$，对任意 $x \in F$ 有 $g(x) = a \neq 0$，故有 $0$ 个根，$0 \leqslant 0$ 成立。
-
归纳步：设对次数小于 $n$ 的多项式结论成立。
若 $g$ 在 $F$ 上没有根，结论自然成立（$0 \leqslant n$）。否则，取 $g$ 的一个根 $a \in F$。
由余式定理，$g = (X - a) \cdot q$，其中 $\deg q = n-1$（通过比较次数）。
由归纳假设，$q$ 在 $F$ 中至多有 $n-1$ 个不同的根。
现在关键步骤：证明 $g$ 的任何不同于 $a$ 的根必定是 $q$ 的根。设 $b \neq a$ 且 $g(b) = 0$，则
\[0 = g(b) = (b-a) \cdot q(b)\]由于 $b - a \neq 0$ 且 $F$ 是域（非零元素均可逆），必有 $q(b) = 0$。
因此 $g$ 的根要么是 $a$，要么是 $q$ 的根，总数至多为 $1 + (n-1) = n$。$\square$
这个证明中”域中两个非零元素相乘不等于零”（即域是整环）这一性质非常关键。正是因为域中没有零因子，才能从 $(b-a) \cdot q(b) = 0$ 推出 $q(b) = 0$。
这个结论在理论和应用中都非常有用。有时多项式以复杂形式给出（系数表达式复杂），难以直接判断它是否为零多项式。但可以利用这条性质：如果其次数不超过 $n$，只需检查 $n+1$ 个不同点上的取值——如果在多于 $n$ 个点上取值都为零，那它必定是零多项式。类似地，在 $n$ 很大的情况下，如果域足够大，随机取一个点代入发现取值为零，则”猜它是零多项式”的准确概率非常高。
3.2 代数基本定理
代数基本定理（Fundamental Theorem of Algebra）：复数域 $\mathbb{C}$ 上任意 $n$ 次（$n \geqslant 1$）非零多项式都可以分解为 $n$ 个一次因式的乘积（计重数）：
\[g(X) = g_n \prod_{i=1}^{n} (X - \alpha_i), \quad \alpha_i \in \mathbb{C}\]这意味着 $\mathbb{C}$ 上每个 $n$ 次多项式恰好有 $n$ 个根（计重数）。
历史注记：
- 该定理最早由高斯（Gauss）发现，并给出了多个证明。
- 早期的证明基于分析的方法（微积分），但因为那个时代微积分尚不严格，一些证明存在细小漏洞。
- 上世纪三四十年代以后，人们尝试用尽可能少的分析、尽可能多的代数来证明。
- 目前最”接近代数”的证明方法使用域扩张和西罗（Sylow）定理，但必须用到至少一条分析性质：任意奇数次实系数多项式至少有一个实根（这只需连续函数的介值性质，不涉及导数）。
完全纯代数的证明（连奇数次实系数多项式有实根都不用分析）目前还不存在。
四、多项式环的理想结构
4.1 多项式环的主理想定理
有了带余除法，就可以证明多项式环的理想结构非常简单。
定理：设 $F$ 为域，$I$ 是 $F[x]$ 的一个理想。则存在 $f \in F[x]$，使得
\[I = \{q \cdot f \mid q \in F[x]\}\]即 $I$ 恰由 $f$ 的所有倍数（倍式）组成。记为 $I = (f)$。
这等价于说：$F[x]$ 是主理想环（Principal Ideal Ring）。
类比：整数环 $\mathbb{Z}$ 也有同样的性质——$\mathbb{Z}$ 的每个理想（首先每个子群）都形如 $n\mathbb{Z} = {kn \mid k \in \mathbb{Z}}$，即某个自然数的全体倍数。带余除法是这两个环具有这种性质的共同根源。
证明：
-
平庸情况：若 $I = {0}$（零理想），则取 $f = 0$ 即可（$0$ 的倍式只有 $0$）。
-
非零情况：设 $I \neq {0}$。取 $I$ 中非零多项式中次数最小的一个，记为 $f$。即：
\[f \in I \setminus \{0\},\quad \deg f = \min\{\deg h \mid h \in I,\; h \neq 0\}\]注意：$f$ 确实可以取到，因为 $I$ 中非零多项式的次数集合是非负整数集的一个子集，有最小元。
下面证明 $I = (f)$ 两边的包含关系。
(a) $(f) \subseteq I$（简单方向）：由理想的定义，对任意 $q \in F[x]$，有 $q \cdot f \in I$（理想对乘以环中任意元素封闭）。故 $f$ 的所有倍数都在 $I$ 中。
(b) $I \subseteq (f)$（关键方向）：任取 $g \in I$。对 $g$ 和 $f$ 做带余除法：
\[g = q \cdot f + r,\quad \deg r < \deg f\]则 $r = g - q \cdot f$。由于 $g \in I$ 且 $q \cdot f \in I$（由 (a)），而理想对减法封闭，故 $r \in I$。
但 $\deg r < \deg f$，如果 $r \neq 0$，则 $r$ 是 $I$ 中一个次数比 $f$ 更小的非零多项式，与 $f$ 的选取（次数最小）矛盾。
因此 $r = 0$，从而 $g = q \cdot f \in (f)$。$\square$
这个证明完全复刻了整数环中子群结构的证明——在整数中，取子群中”绝对值最小”的正整数；在多项式环中，取理想中”次数最小”的非零多项式。剩下的一切都由带余除法完成。
4.2 一般交换环中的主理想
上面的讨论可以推广到一般的交换环。
设 $R$ 是一个交换环（乘法可交换，有幺元 $1$）。对任意 $u \in R$，定义集合：
\[Ru = \{r \cdot u \mid r \in R\}\]可以验证 $Ru$ 是 $R$ 的一个理想：
- $0 = 0 \cdot u \in Ru$（零元在内）
- 对 $a, b \in R$，$au + bu = (a+b)u \in Ru$（加法封闭）
- $-(au) = (-a)u \in Ru$（加法逆元封闭）
- 对任意 $d \in R$，$d \cdot (au) = (da)u \in Ru$（环中乘法封闭）
这个理想 $Ru$ 称为由 $u$ 生成的主理想（principal ideal），标准记号为 $(u)$。
记法说明：记号 $Ru$ 或 $(u)$ 表示”环 $R$ 中所有元素右乘 $u$ 得到的集合”。因为交换环中左右乘无区别，所以也可以写 $uR$。
定义：如果一个交换环 $R$ 的每个理想都是主理想（即都可以由一个元素生成），则称 $R$ 为主理想环（Principal Ideal Ring）。
- $\mathbb{Z}$ 是主理想环
- $F[x]$（域上的一元多项式环）是主理想环
- 但并非所有环都是主理想环，存在更复杂的环，其理想需要多个元素生成
主理想环（PID）的性质在抽象代数中会反复出现——比如唯一分解定理在 PID 中成立，极大理想和素理想的关系等。