一、多项式环的商环
1.1 带余除法与主理想整环
在多项式环 $F[x]$ 上，任何一个理想（Ideal）都可以由某一个给定多项式的全体倍式生成。也就是说，$F[x]$ 是一个主理想整环（Principal Ideal Domain, PID）。
有了理想和环，就可以构造商环（Quotient Ring）。多项式环商环 $F[x]/(G)$ 的基本性质都建立在带余除法之上：对任意多项式先除以 $G$，再用余式作为陪集代表元。
1.2 例子：$\mathbb{R}[x] / (x^2 + 1)$ 同构于复数域
取 $F = \mathbb{R}$，$G(x) = x^2 + 1$，设 $I = (x^2 + 1)$ 为 $x^2 + 1$ 生成的主理想。
商环 $\mathbb{R}[x] / I$ 中的元素为陪集 $f + I$，其中 $f \in \mathbb{R}[x]$。
1.2.1 用带余除法简化代表元
由于可以对 $x^2+1$ 做带余除法，任意 $f \in \mathbb{R}[x]$ 都可写成：
\[f(x) = (x^2+1) \cdot Q(x) + R(x)\]其中余式 $R(x)$ 的次数严格小于 $2$，即 $R(x) = aX + b$，$a,b \in \mathbb{R}$。
因为 $(x^2+1) \cdot Q(x) \in I$，陪集 $f + I$ 等价于：
\[R(x) + I = aX + b + I\]因此商环中的每个元素都可以用次数不超过一次的多项式表示。
例如，取 $f(x) = x^3$，对 $x^2+1$ 做带余除法：
\[x^3 = x \cdot (x^2+1) - x\]由于 $x \cdot (x^2+1) \in I$，故：
\[x^3 + I = -x + I\]1.2.2 商环中的乘法
商环中的乘法按陪集定义：
\[(f+I)(g+I) = fg + I\]具体计算时，乘法之后还要对结果再次除以 $x^2+1$，用余式简化代表元。
考察 $X + I$ 的平方：
\[(X+I)^2 = X^2 + I\]对 $X^2$ 做带余除法：
\[X^2 = (X^2+1) - 1\]因此：
\[X^2 + I = (-1) + I\]也就是说，在商环 $\mathbb{R}[x]/(x^2+1)$ 中，$X$ 的平方等于 $-1$。乘法幺元是 $1 + I$，因为 $1 \cdot f = f$ 对任何 $f$ 成立。
1.2.3 与复数域的同构
商环中的元素为 $aX + b + I$，其中 $a,b \in \mathbb{R}$，且 $(X+I)^2 = -1 + I$。这与复数 $a \cdot i + b$ 的结构一致，其中 $i^2 = -1$。
定义映射：
\[\varphi: \mathbb{R}[x]/(x^2+1) \to \mathbb{C}\] \[\varphi(aX + b + I) = a \cdot i + b\]可以验证 $\varphi$ 是一个环同构：它保持加法、保持乘法，并且是双射。因此：
\[\mathbb{R}[x]/(x^2+1) \cong \mathbb{C}\]也可以从环同态基本定理出发验证这一结论：构造环同态 $\mathbb{R}[x] \to \mathbb{C}$，将 $X$ 映到 $i$。该同态的核正是 $(x^2+1)$，由环同态基本定理可得：
\[\mathbb{R}[x]/(x^2+1) \cong \mathbb{C}\]这个例子说明：从实数域出发，取域上的多项式环，再模去一个不可约多项式生成的理想，可以得到新的域。
1.3 一般情形：$F[x] / (G)$ 中元素的表示
设 $F$ 为域，$G(x) \in F[x]$ 是非零多项式，次数 $\deg G = m$，$I = (G)$。
1.3.1 商环元素的简化表示
对任意 $f \in F[x]$，做带余除法：
\[f = G \cdot Q + R, \quad \deg R < m\]由于 $G \cdot Q \in I$，陪集 $f + I$ 等价于 $R + I$。因此 $F[x]/(G)$ 中的元素总可以取次数严格小于 $m$ 的多项式作为代表元，一般形式为：
\[a_0 + a_1 X + \cdots + a_{m-1} X^{m-1} + I, \quad a_i \in F\]1.3.2 乘法的简化
两个元素 $(f+I)$ 和 $(h+I)$ 相乘：
\[(f+I)(h+I) = fh + I\]随后对乘积 $fh$ 再除以 $G$，将结果化成次数小于 $m$ 的代表元。带余除法在商环计算中反复出现：它既给出标准代表元，也保证运算结果仍可回到固定的表示空间中。
1.3.3 表示的唯一性
次数小于 $m$ 的代表元不会重复。若 $R$ 和 $S$ 都是次数小于 $m$ 的多项式，且：
\[R + I = S + I\]则必有 $R = S$。
证明如下：
\[R + I = S + I \Rightarrow S - R \in I \Rightarrow S - R = G \cdot Q\]若 $Q \neq 0$，则：
\[\deg(S-R) \geq \deg G = m\]但另一方面：
\[\deg(S-R) \leq \max(\deg S, \deg R) < m\]两者矛盾。故 $Q = 0$，从而 $S = R$。
1.4 商环为域的充要条件
设 $F$ 为域，$G(x) \in F[x]$，$\deg G = m$，$I = (G)$。
先排除两个平凡情况：
- 若 $G = 0$，则 $I = \{0\}$，商环 $F[x]/(0) \cong F[x]$，相当于不做商。
- 若 $\deg G = 0$，即 $G$ 为非零常数，则 $I = F[x]$，商环只有一个元素，零元等于幺元，不符合域中 $0 \neq 1$ 的要求。
因此以下假设 $G \neq 0$ 且 $\deg G \geq 1$。
定理：$F[x]/(G)$ 是一个域，当且仅当 $G$ 是 $F$ 上的不可约多项式（Irreducible Polynomial）。
这个结果与整数环完全对应：
\[\mathbb{Z}/(n) \text{ 是域 } \Longleftrightarrow n \text{ 是素数}\]1.4.1 商环的基本结构
$F[x]/(G)$ 是一个交换环，因为 $F[x]$ 本身满足乘法交换律，商环继承这一性质。其乘法幺元为 $1 + I$。
域和一般交换环的核心区别在于：域中每一个非零元素都有乘法逆元。
1.4.2 充分性：$G$ 不可约 $\Rightarrow$ $F[x]/(G)$ 是域
任取商环中一个非零元素 $R + I$，其中 $\deg R < m$ 且 $R \neq 0$。
由于 $G$ 是不可约多项式，$G$ 的因式只有两类：
- 非零常数；
- $G$ 自身乘以一个非零常数。
又因为 $\deg R < \deg G$，$R$ 不可能以 $G$ 为因式。因此：
\[\gcd(R, G) = 1\]由 Bezout 恒等式，存在 $U, V \in F[x]$ 使得：
\[U \cdot R + V \cdot G = 1\]在商环中考虑该等式。由于 $V \cdot G \in I$，该项等于 $0 + I$，于是：
\[(U + I)(R + I) = 1 + I\]因此 $U + I$ 是 $R + I$ 的乘法逆元。任意非零元素都有逆元，所以 $F[x]/(G)$ 是域。
1.4.3 必要性：$F[x]/(G)$ 是域 $\Rightarrow$ $G$ 不可约
采用逆否命题证明：若 $G$ 不是不可约多项式，则 $F[x]/(G)$ 不是域。
情况一：$\deg G = 0$。
此时 $G$ 是非零常数。因为 $G$ 在域 $F$ 中可逆，$(G) = F[x]$，于是商环 $F[x]/F[x]$ 只有一个元素，零元和乘法幺元相同，不满足域的定义。
情况二：$\deg G \geq 1$ 且 $G$ 可约。
由于 $G$ 可约，存在次数严格更小的多项式 $F_1,H_1 \in F[x]$，使得：
\[G = F_1 \cdot H_1, \quad 1 \leq \deg F_1, \deg H_1 < m\]考虑商环中的两个元素 $F_1 + I$ 和 $H_1 + I$。由于它们的次数都小于 $m$，根据代表元唯一性，它们都不是零元素。但它们的乘积为：
\[(F_1 + I)(H_1 + I) = F_1H_1 + I = G + I = 0 + I\]商环中存在两个非零元素乘积为零，即存在零因子。域一定是整环，不可能存在这种情形。因此 $F[x]/(G)$ 不是域。
1.5 从已知域构造更大的域
定理的重要应用是构造新域：给定一个已知域 $F$，取 $F[x]$ 上的一个不可约多项式 $G$，则商环 $F[x]/(G)$ 就是一个新的域。
当 $G$ 的次数大于 $1$ 时，$F[x]/(G)$ 通常可以看成在 $F$ 中加入某个新元素后得到的扩域。例如：
\[\mathbb{R}[x]/(x^2+1) \cong \mathbb{C}\]这一构造也是有限域构造中的基本工具：从有限域出发，模去不可约多项式生成的理想，可以得到更大的有限域。
1.6 等价表示法：直接对余式定义运算
商环也可以不用陪集视角来理解。
取所有次数严格小于 $m$ 的多项式构成集合 $R$，并在其上定义两个运算：
- 加法：普通多项式加法。两个次数小于 $m$ 的多项式相加后，次数仍小于 $m$。
- 乘法：先做普通多项式乘法，再对 $G$ 做带余除法，取余式作为结果。
若把该乘法记为 $\odot$，则：
\[F \odot H = (FH \text{ 除以 } G \text{ 的余式})\]此时 $(R, +, \odot)$ 构成一个环，并且与商环 $F[x]/(G)$ 同构。
同构可以通过如下映射建立：
\[\varphi: F[x] \to R\] \[\varphi(f) = f \text{ 除以 } G \text{ 的余式}\]该映射的核为 $(G)$，像为 $R$。由环同态基本定理：
\[F[x]/(G) \cong R\]这个视角与模 $n$ 的整数加法和乘法完全类似：整数做完乘法后对 $n$ 取余，得到 $0$ 到 $n-1$ 范围内的结果。陪集视角和余式运算视角在文献中经常混用，本质上描述的是同一个结构。
二、从整环构造域：分式域
2.1 构造动机
在多项式环 $F[x]$ 中，有乘法逆元的元素很少：只有零次多项式，即域 $F$ 中的非零常数。对于次数大于等于 $1$ 的多项式，例如 $X$，在多项式环内部找不到乘法逆元。
这与整数环 $\mathbb{Z}$ 类似。整数环中的可逆元只有 $\pm 1$，但引入分数后得到有理数域 $\mathbb{Q}$，每个非零整数都可以作为分母，从而拥有倒数。
同理，引入有理函数后，$X$ 也有倒数：
\[\frac{1}{X}\]这在多项式环中原本不存在。分式域的构造就是把一个合适的环扩大，使其中原本没有逆元的非零元素在更大的结构里拥有逆元。
2.2 构造前提
并不是任意环都能通过补充分式的方式构造成域。经典的分式域构造要求原环是一个有交换律的整环（Commutative Integral Domain）：
- 交换律：乘法满足 $ab = ba$；
- 整环：若 $a \neq 0$ 且 $b \neq 0$，则 $ab \neq 0$，即无零因子。
整数环 $\mathbb{Z}$ 和域上的多项式环 $F[x]$ 都满足这一条件。
这个前提是必要的：域本身一定是整环。如果一个环有零因子，那么分式构造中的通分、消去和逆元计算都会失去基本保障。
2.3 分式域的构造步骤
设 $R$ 是一个有交换律的整环，乘法幺元记为 $1$。
第一步：定义等价关系
在集合 $R \times (R \setminus \{0\})$ 上定义关系 $\sim$：
\[(a, b) \sim (c, d) \iff ad = bc\]这对应分数相等的通分条件：
\[\frac{a}{b} = \frac{c}{d} \Longleftrightarrow ad = bc\]第二个位置不能取零，因为分母不能为零。
需要验证 $\sim$ 是一个等价关系：
- 自反性：$(a, b) \sim (a, b)$，因为 $ab = ba$。
- 对称性：若 $(a, b) \sim (c, d)$，则 $ad = bc$，从而 $cb = da$，故 $(c, d) \sim (a, b)$。
- 传递性：若 $(a, b) \sim (c, d)$ 且 $(c, d) \sim (e, f)$，即 $ad = bc$ 且 $cf = de$，需要证明 $af = be$。
传递性的推导如下：
\[ad = bc \Rightarrow adf = bcf\]又因为：
\[cf = de \Rightarrow bcf = bde\]所以：
\[adf = bde\]由于 $d \neq 0$，且 $R$ 是整环，可以使用消去律，得到：
\[af = be\]这说明 $(a, b) \sim (e, f)$。传递性证明中的消去步骤正是整环条件的关键用途；若环中存在零因子，非零元素未必能消去。
第二步：定义分式域的元素
将 $(a, b)$ 所在的等价类记为：
\[\frac{a}{b}\]定义：
\[K = \left\{ \frac{a}{b} \;\middle|\; a \in R,\; b \in R \setminus \{0\} \right\}\]这个 $K$ 称为 $R$ 的分式域（Field of Fractions）。
在整数环中，这一构造得到有理数域 $\mathbb{Q}$；在多项式环 $F[x]$ 中，这一构造得到有理函数域 $F(x)$。
第三步：定义加法和乘法
在等价类上定义加法：
\[\frac{a}{b} \oplus \frac{c}{d} = \frac{ad + bc}{bd}\]这对应普通分数的通分：
\[\frac{a}{b} + \frac{c}{d} = \frac{ad+bc}{bd}\]定义乘法：
\[\frac{a}{b} \odot \frac{c}{d} = \frac{ac}{bd}\]也就是分子乘分子、分母乘分母。
之后需要验证两件事：
- 这两个运算是良定义的，即不依赖等价类代表元的选取；
- 在这两个运算下，$K$ 构成一个域。
加法幺元为：
\[\frac{0}{1}\]乘法幺元为：
\[\frac{1}{1}\]其中 $0$ 是 $R$ 的加法幺元，$1$ 是 $R$ 的乘法幺元。
第四步：验证逆元存在
对于 $K$ 中任意非零元素 $\frac{a}{b}$，其中 $a \neq 0$ 且 $b \neq 0$，其乘法逆元为：
\[\left(\frac{a}{b}\right)^{-1} = \frac{b}{a}\]验证：
\[\frac{a}{b} \cdot \frac{b}{a} = \frac{ab}{ba} = \frac{ab}{ab} = \frac{1}{1}\]这里用到了乘法交换律 $ab = ba$。因此每个非零元素在 $K$ 中都有逆元，分式域确实是一个域。
2.4 将原环嵌入分式域
严格来说，$R$ 不一定是 $K$ 的子集，因为 $K$ 的元素是等价类，而 $R$ 的元素是原始环元素。但可以通过单射环同态将 $R$ 嵌入 $K$：
\[\varphi: R \to K, \quad \varphi(a) = \frac{a}{1}\]$\varphi$ 保持加法和乘法：
\[\varphi(a+b) = \frac{a+b}{1} = \frac{a}{1} + \frac{b}{1}\] \[\varphi(ab) = \frac{ab}{1} = \frac{a}{1}\cdot \frac{b}{1}\]并且 $\varphi$ 是单射。若：
\[\frac{a}{1} = \frac{b}{1}\]则由等价关系得到：
\[a \cdot 1 = b \cdot 1\]所以 $a=b$。
此外：
\[\varphi(1_R)=1_K\]因此可以把 $R$ 视为 $K$ 的一部分，将 $a \in R$ 与 $\frac{a}{1} \in K$ 等同。
进一步：
\[\frac{a}{b} = \varphi(a)\cdot \varphi(b)^{-1}\]也就是在分式域中把分式看成 $a \cdot b^{-1}$。
2.5 分式域的意义与注意事项
研究交换整环时，常常可以把它嵌入分式域中讨论。因为在域中每个非零元素都有逆元，许多代数运算更方便。
但不能把所有关于原整环的问题都转移到分式域中判断。例如：
- 若问题是“某个元素在原来的环里有没有逆元”，就不能直接到分式域中判断；
- 在分式域中，原整环的每个非零元素都可逆；
- 关键区别在于：逆元是否仍然属于原来的环。
例如在 $\mathbb{Z}$ 中，$2$ 没有逆元；但在分式域 $\mathbb{Q}$ 中，$2^{-1}=\frac12$ 存在。判断可逆性时必须明确讨论的是原环还是分式域。
2.6 等价关系与运算良定义的验证要点
分式域构造中最需要仔细验证的点包括：
- 等价关系的传递性：需要用到整环的消去律，即非零公共因子可以消去。
-
加法的良定义：需要证明当 $\frac{a}{b} = \frac{a'}{b'}$ 且 $\frac{c}{d} = \frac{c'}{d'}$ 时，有：
\[\frac{ad+bc}{bd} = \frac{a'd'+b'c'}{b'd'}\]这一验证会反复使用环的交换律、结合律、分配律以及整环中的消去性质。
-
乘法的良定义：需要证明乘法结果不依赖代表元选取。若 $ab' = a'b$ 且 $cd' = c'd$，则要推出：
\[(ac)(b'd') = (a'c')(bd)\]
这些验证与整数到有理数的具体构造完全平行。以 $\frac{1}{2}$ 和 $\frac{2}{4}$ 为例，二者代表同一个等价类；在进行加法或乘法时，无论选哪一个作为代表元，最终得到的等价类都应相同。这正是“良定义”的含义。
2.7 更一般环上的推广
如果环不是交换的，或者不是整环，类似“补分母”的构造仍然可以发展，但需要更精细的条件。更一般的理论通常称为局部化，要求选取的分母集合满足特定条件，例如形成合适的乘性子集。
在当前框架中，最核心的情形是：交换整环可以自然嵌入其分式域；整数环嵌入有理数域，多项式环 $F[x]$ 嵌入有理函数域 $F(x)$。