一、子域
1.1 数域的概念
域最原始的概念来源于复数集的子集。
数域：复数集 $\mathbb{C}$ 的子集 $F$，如果对加减乘除运算封闭，就称 $F$ 为一个数域（或称为复数域的子域）。
常见例子：
- 有理数域 $\mathbb{Q}$
- 实数域 $\mathbb{R}$
- $\mathbb{Q}(\sqrt{2}) = \{a + b\sqrt{2} \mid a, b \in \mathbb{Q}\}$
1.2 子域的一般定义
定义：设 $(E, +, \cdot)$ 是一个域，$F \subseteq E$，如果 $F$ 满足以下条件，则称 $F$ 是 $E$ 的子域：
- $0, 1 \in F$（零元和幺元在 $F$ 中）
- $F$ 对加法、减法、乘法封闭
- $\forall a \in F \setminus \{0\}$，有 $a^{-1} \in F$（除法封闭）
等价地说，$F$ 在 $E$ 的加法和乘法运算下自己构成一个域。
例1：$\mathbb{Q}(\sqrt{2}) = \{a + b\sqrt{2} \mid a, b \in \mathbb{Q}\}$ 是 $\mathbb{R}$ 的子域。
验证除法封闭：设 $a + b\sqrt{2} \neq 0$（$a, b$ 不全为零），则 \(\frac{1}{a + b\sqrt{2}} = \frac{a - b\sqrt{2}}{a^2 - 2b^2}\)
因为 $a^2 - 2b^2 \neq 0$（否则 $\sqrt{2}$ 是有理数，矛盾），所以右边仍为 $\mathbb{Q}(\sqrt{2})$ 中的元素。
例2：有限域的子域
考虑 $F_2 = \{0, 1\}$（模2的加法和乘法）。设 \(S = F_2[x] / (x^2 + x + 1)\)
其中 $x^2 + x + 1$ 是 $F_2$ 上的不可约多项式（因为 $0, 1$ 都不是它的根）。
这是一个 4 元域，其元素为：$\{0, 1, x, x+1\}$
它的子域为 $\{0, 1\} \cong F_2$。
1.3 域扩张
如果 $F$ 是 $E$ 的子域，我们也称 $E$ 是 $F$ 的域扩张。
这是一对相对的概念：
- 从大域 $E$ 出发看小的 $F$，称 $F$ 为 $E$ 的子域
- 从小域 $F$ 出发看大的 $E$，称 $E$ 为 $F$ 的扩张
二、代数元与超越元
2.1 定义
设 $E$ 是域，$F \subseteq E$ 是子域，$u \in E$。
代数元：若存在非零多项式 $f \in F[x]$，使得 $f(u) = 0$，则称 $u$ 是 $F$ 上的代数元。
超越元：若对任意非零多项式 $f \in F[x]$，都有 $f(u) \neq 0$，则称 $u$ 是 $F$ 上的超越元。
注意：代数元和超越元是互斥且互补的概念。非零多项式的要求非常重要，因为零多项式在任何元素处赋值都等于零。
代数元和超越元必须明确在哪个子域上讨论。
2.2 基本例子
命题：$F$ 中的任何元素 $a$ 都是 $F$ 上的代数元。
证明：考虑一次多项式 $f(x) = x - a \in F[x]$，显然 $f(a) = 0$。
例子：
- $\sqrt{2}$ 是 $\mathbb{Q}$ 上的代数元，因为 $\sqrt{2}$ 是 $x^2 - 2$ 的根
- $\sqrt[3]{2}$ 是 $\mathbb{Q}$ 上的代数元，因为它是 $x^3 - 2$ 的根
- $\sqrt{1/2}$ 是 $\mathbb{Q}$ 上的代数元，因为它是 $x^2 - 1/2$ 的根
- 虚数单位 $i$ 是 $\mathbb{Q}$ 上的代数元，因为它是 $x^2 + 1$ 的根
2.3 历史背景
代数数与超越数
代数数：复数 $\alpha$ 如果是某个有理系数多项式的根，即 $\alpha$ 是 $\mathbb{Q}$ 上的代数元，则称 $\alpha$ 为代数数。
超越数：不是有理系数多项式根的复数。
这个概念最早产生于19世纪，人们研究函数的零点问题。多项式作为最简单的连续函数，其零点问题自然成为研究对象。
刘维尔数
最早的一批超越数由法国数学家刘维尔（Liouville）给出。例如： \(\sum_{i=1}^{\infty} \frac{1}{10^{i!}} = \frac{1}{10} + \frac{1}{10^2} + \frac{1}{10^6} + \frac{1}{10^{24}} + \cdots\)
这个级数收敛（因为 $1/10^{i!}$ 趋于零的速度比指数还快），且可以证明它是超越数。直观上，写成小数形式时，这个数的零非常稀疏，越到后面零越多，非零数字出现得很稀疏。
康托尔的集合论证明
康托尔（Cantor）从集合论的角度给出了非构造性的证明：
关键事实：
- 有理数集 $\mathbb{Q}$ 是可列的
- $\mathbb{Q}$ 上的多项式环 $\mathbb{Q}[x]$ 是可列的（因为给定次数的多项式对应有限长度的有理数序列）
- 代数数集合是可列的（因为每个非零多项式最多有有限个根）
- 实数集 $\mathbb{R}$ 是不可列的
结论：在所有复数（或实数）中，几乎所有的数都是超越数，代数数只是稀少的一部分。
这个论证体现了集合论的威力。它是非构造性的证明——并没有给出具体判断某个数是否为超越数的方法，但却完整说明了超越数的普遍性。
著名例子：
- $\pi$ 和 $e$ 都是超越数（证明较复杂）
- 直到现在，判断一个具体的数是代数数还是超越数，除了定义之外，还没有非常一般的充要条件
三、域扩张 $F(u)$ 的结构
3.1 包含 $F$ 和 $u$ 的最小子域
设 $E$ 是域，$F \subseteq E$ 是子域，$u \in E$。
记号：$F(u)$ 表示 $E$ 中包含 $F$ 和 $u$ 的最小子域。
这个记号的含义是：从 $F$ 中添加元素 $u$，得到的最小域。
一般形式： \(F(u) = \left\{ \frac{f(u)}{g(u)} \mid f, g \in F[x], g(u) \neq 0 \right\}\)
或等价地写成： \(F(u) = \left\{ f(u) \cdot (g(u))^{-1} \mid f, g \in F[x], g(u) \neq 0 \right\}\)
3.2 $F(u)$ 是最小子域的证明
需要证明两点：
（1）$F(u)$ 包含于任何包含 $F$ 和 $u$ 的子域
设 $L$ 是 $E$ 的子域，且 $F \subseteq L$，$u \in L$。
- 因为 $u \in L$ 且 $L$ 对乘法封闭，所以 $u^i \in L$（对所有 $i \geq 0$，用归纳法）
- 因为 $F \subseteq L$，对任何 $f(x) = \sum a_i x^i \in F[x]$，有 $f(u) = \sum a_i u^i \in L$
- 因为 $L$ 是子域，对除法封闭，若 $g(u) \neq 0$，则 $(g(u))^{-1} \in L$
- 因此 $f(u) \cdot (g(u))^{-1} \in L$
所以 $F(u) \subseteq L$。
（2）$F(u)$ 本身是一个子域
需要验证：
- $0, 1 \in F(u)$：取 $f(x) = 0$ 和 $f(x) = 1$，$g(x) = 1$
-
对加法封闭：设 $a = \frac{f_1(u)}{g_1(u)}$，$b = \frac{f_2(u)}{g_2(u)}$，则 \(a + b = \frac{f_1(u) \cdot g_2(u) + f_2(u) \cdot g_1(u)}{g_1(u) \cdot g_2(u)}\) 分子 $f_1 g_2 + f_2 g_1 \in F[x]$，分母 $g_1 g_2 \in F[x]$ 且在 $u$ 处非零
-
对减法封闭：$-a = \frac{-f_1(u)}{g_1(u)}$
-
对乘法封闭：$a \cdot b = \frac{f_1(u) \cdot f_2(u)}{g_1(u) \cdot g_2(u)}$
- 对除法封闭：若 $a \neq 0$，即 $f_1(u) \neq 0$，则 $a^{-1} = \frac{g_1(u)}{f_1(u)}$
运算规则和有理数的通分规则完全一样。
四、超越元情形
4.1 $F(u)$ 的结构（$u$ 是超越元）
命题：若 $u$ 是 $F$ 上的超越元，则：
\[F(u) = \left\{ \frac{f(u)}{g(u)} \mid f, g \in F[x], g \neq 0 \right\}\]注意与一般形式的区别：这里条件是 $g \neq 0$（多项式非零），而不是 $g(u) \neq 0$。
原因：因为 $u$ 是超越元，所以对任何非零多项式 $g \in F[x]$，都有 $g(u) \neq 0$。因此 “$g \neq 0$” 等价于 “$g(u) \neq 0$”。
4.2 元素相等的判别
命题：设 $u$ 是 $F$ 上的超越元，$f_1, f_2, g_1, g_2 \in F[x]$ 且 $g_1, g_2 \neq 0$。则：
\[\frac{f_1(u)}{g_1(u)} = \frac{f_2(u)}{g_2(u)} \iff f_1 g_2 = f_2 g_1\]证明： \(\frac{f_1(u)}{g_1(u)} = \frac{f_2(u)}{g_2(u)}\)
两边同乘 $g_1(u) g_2(u)$（在域中非零元素有消去律）： \(f_1(u) g_2(u) = f_2(u) g_1(u)\)
即 $(f_1 g_2 - f_2 g_1)(u) = 0$。
因为 $u$ 是超越元，对任何非零多项式 $h \in F[x]$ 都有 $h(u) \neq 0$。
所以 $f_1 g_2 - f_2 g_1 = 0$，即 $f_1 g_2 = f_2 g_1$。
这和两个分数相等的判别方法一样——交叉相乘（十字相乘）。
4.3 超越元的例子
例：考虑 $\mathbb{Q}(\pi)$。
因为 $\pi$ 是超越数（不是任何有理系数多项式的根），所以： \(\mathbb{Q}(\pi) = \left\{ \frac{f(\pi)}{g(\pi)} \mid f, g \in \mathbb{Q}[x], g \neq 0 \right\}\)
注意这不能简化为 $\{a + b\pi \mid a, b \in \mathbb{Q}\}$。
因为 $\{a + b\pi \mid a, b \in \mathbb{Q}\}$ 对乘法都不封闭（$\pi \cdot \pi = \pi^2$ 不在其中）。
如果 $\pi^2 = a + b\pi$（某些 $a, b \in \mathbb{Q}$），那么 $\pi$ 就满足二次有理系数多项式 $x^2 - bx - a = 0$，与 $\pi$ 是超越数矛盾。
五、代数元情形与极小多项式
5.1 为什么代数元可以简化
例：$\mathbb{Q}(\sqrt{2})$
根据一般形式，应该是： \(\mathbb{Q}(\sqrt{2}) = \left\{ \frac{f(\sqrt{2})}{g(\sqrt{2})} \mid f, g \in \mathbb{Q}[x], g(\sqrt{2}) \neq 0 \right\}\)
但实际上： \(\mathbb{Q}(\sqrt{2}) = \{a + b\sqrt{2} \mid a, b \in \mathbb{Q}\}\)
原因：$\sqrt{2}$ 是代数元，满足 $x^2 - 2 = 0$。利用这个关系，可以将高次项化简：
- $(\sqrt{2})^2 = 2$
- $(\sqrt{2})^3 = 2\sqrt{2}$
- 一般地，任何 $f(\sqrt{2})$ 都可以化为 $a + b\sqrt{2}$ 的形式
5.2 理想的观点
设 $u$ 是 $F$ 上的代数元。考虑集合： \(I = \{f \in F[x] \mid f(u) = 0\}\)
这个集合是 $F[x]$ 的一个理想。
验证：
- $0 \in I$（零多项式）
- 对加法、减法封闭：若 $f(u) = g(u) = 0$，则 $(f \pm g)(u) = 0$
- 对乘法封闭：若 $f(u) = 0$，$h \in F[x]$ 任意，则 $(hf)(u) = h(u) \cdot f(u) = 0$
因为 $u$ 是代数元，所以 $I \neq \{0\}$（存在非零多项式以 $u$ 为根）。
定理：$F[x]$ 是主理想整环，所以存在唯一的首一多项式 $g \in F[x]$，使得： \(I = (g) = \{hg \mid h \in F[x]\}\)
5.3 带余除法的观点
不用理想，也可以直接用带余除法证明。
设 $g \in F[x]$ 是所有满足 $g(u) = 0$ 的非零多项式中次数最小的。
对任意 $f \in F[x]$ 满足 $f(u) = 0$，做带余除法： \(f = qg + r, \quad \deg(r) < \deg(g)\)
代入 $u$： \(f(u) = q(u) g(u) + r(u)\)
因为 $f(u) = 0$ 且 $g(u) = 0$，所以 $r(u) = 0$。
但 $\deg(r) < \deg(g)$，而 $g$ 是使得 $g(u) = 0$ 的最小次数多项式，所以 $r = 0$。
因此 $f = qg$，即 $g \mid f$。
5.4 极小多项式的定义
定义：设 $E$ 是域，$F \subseteq E$ 是子域，$u \in E$ 是 $F$ 上的代数元。称多项式 $g \in F[x]$ 为 $u$ 在 $F$ 上的极小多项式，如果：
- $g \neq 0$ 且 $g(u) = 0$
- $g$ 是首一的（首项系数为 1）
- 在所有满足 $h(u) = 0$ 的非零多项式 $h \in F[x]$ 中，$g$ 的次数最小
等价地说：$g$ 是使得 $g(u) = 0$ 的首一非零多项式中次数最小的。
要求首一（首项系数为1）是为了保证唯一性。否则 $x^2 - 2$、$2x^2 - 4$、$\frac{1}{2}x^2 - 1$ 都可以，不唯一。
例：$\sqrt{2}$ 在 $\mathbb{Q}$ 上的极小多项式是 $x^2 - 2$。
因为：
- $\sqrt{2}$ 不是有理数，所以不能满足一次多项式
- $(\sqrt{2})^2 - 2 = 0$
- $x^2 - 2$ 是首一的
5.5 极小多项式的性质
命题：设 $g$ 是 $u$ 在 $F$ 上的极小多项式。则对任何 $f \in F[x]$： \(f(u) = 0 \iff g \mid f\)
即：$u$ 是 $f$ 的根，当且仅当 $f$ 是 $g$ 的倍数。
证明：前面已通过带余除法证明。
推论：极小多项式是不可约多项式。
六、总结
本节介绍了域论的基本概念：
- 子域：域的子集在运算下仍构成域
- 域扩张：从小域向大域扩张，通过添加元素 $F(u)$
- 代数元与超越元：是否为子域上多项式的根
- 代数元：存在非零多项式以它为根
- 超越元：任何非零多项式在该点都不为零
- $F(u)$ 的结构：
- 一般情况：$\{\frac{f(u)}{g(u)} \mid f, g \in F[x], g(u) \neq 0\}$
- 超越元：条件简化为 $g \neq 0$
- 代数元：可以进一步简化（通过极小多项式）
- 极小多项式：代数元在子域上满足的首一最小次数多项式
这些概念是理解域论、伽罗瓦理论的基础。