一、极小多项式的基本性质
1.1 设置与定义回顾
设 $E$ 是域，$F \subseteq E$ 是子域，$u \in E$ 是 $F$ 上的代数元（algebraic element），即存在非零多项式 $f \in F[X]$ 使得 $f(u) = 0$。
$u$ 在 $F$ 上的极小多项式（minimal polynomial）$g \in F[X]$ 满足：
- $g(u) = 0$。
- $g$ 的次数最小：对任意 $h \in F[X]$，若 $h \neq 0$ 且 $h(u) = 0$，则 $\deg(g) \leq \deg(h)$。
- $g$ 首一，即首项系数为 1。
极小多项式次数至少为 1，因为 0 次非零多项式是非零常数，代入任何元素都不为零。
例子：$\sqrt{2}$ 在有理数域 $\mathbb{Q}$ 上的极小多项式是 $X^2 - 2$。
1.2 极小多项式的三个核心性质
命题：设 $g$ 是 $u$ 在 $F$ 上的极小多项式，则：
- $g$ 在 $F[X]$ 中不可约。
- 对任意 $f \in F[X]$，若 $f(u) = 0$，则 $g \mid f$。
- 极小多项式唯一：若 $h \in F[X]$ 首一且 $h(u) = 0$，并且次数满足极小性，则 $h = g$。
$g$ 不可约
用反证法。若 $g$ 在 $F$ 上可约，则存在 $h_1, h_2 \in F[X]$，使得
\[g = h_1 h_2\]其中 $1 \leq \deg(h_1) < \deg(g)$，$1 \leq \deg(h_2) < \deg(g)$。
因为 $g(u) = 0$，所以
\[h_1(u)h_2(u) = 0\]$E$ 是域，因此是整环。于是 $h_1(u) = 0$ 或 $h_2(u) = 0$，这与 $g$ 的极小性矛盾。
整除性
对 $f$ 做带余除法：
\[f = qg + r\]其中 $q, r \in F[X]$，且 $\deg(r) < \deg(g)$。
代入 $u$：
\[f(u) = q(u)g(u) + r(u)\]若 $f(u) = 0$ 且 $g(u) = 0$，则 $r(u) = 0$。若 $r \neq 0$，则 $r$ 是次数小于 $g$ 的非零多项式，且以 $u$ 为零点，与极小性矛盾。因此 $r = 0$，即 $f = qg$，所以 $g \mid f$。
唯一性
若 $h$ 也是满足条件的首一极小多项式，由整除性得 $g \mid h$。由于二者次数相同，$h = ag$，其中 $a \in F$ 是非零常数。又因为 $h$ 与 $g$ 都首一，所以 $a = 1$，即 $h = g$。
二、代数元生成的域扩张
2.1 向量空间结构
域扩张 $E \supseteq F$ 可以看作 $F$ 上的向量空间：
- 向量加法：$E$ 的域加法。
- 数乘：$a \in F$、$v \in E$ 时，数乘为 $av$。
如果 $E$ 作为 $F$ 上的向量空间是有限维的，其维数记为：
\[[E : F] \quad \text{或} \quad \dim_F(E)\]例子：
- $[\mathbb{C} : \mathbb{R}] = 2$，基为 $\{1, i\}$。
- $[\mathbb{Q}(\sqrt{2}) : \mathbb{Q}] = 2$，基为 $\{1, \sqrt{2}\}$。
2.2 代数元扩张的结构定理
命题：设 $u \in E$ 在 $F$ 上是代数元，$g$ 是其极小多项式，$\deg(g) = m$。则：
-
扩域的元素表示
\[F(u) = \{r(u) \mid r \in F[X], \deg(r) < m\}\] -
表示的唯一性
若 $r_1, r_2 \in F[X]$，$\deg(r_1), \deg(r_2) < m$，且 $r_1(u) = r_2(u)$，则 $r_1 = r_2$。
-
维数
\[[F(u) : F] = m\]且一组基为：
\[\{1, u, u^2, \ldots, u^{m-1}\}\]
证明要点
取 $F(u)$ 中任意元素：
\[\frac{f(u)}{h(u)}\]其中 $f, h \in F[X]$，$h(u) \neq 0$。
因为 $g$ 不可约且 $h(u) \neq 0$，所以 $g \nmid h$，从而 $\gcd(g, h) = 1$。由最大公因数的性质，存在 $v, w \in F[X]$ 使得：
\[vg + wh = 1\]代入 $u$：
\[v(u)g(u) + w(u)h(u) = 1\]由于 $g(u) = 0$，有：
\[w(u)h(u) = 1\]即 $h(u)^{-1} = w(u)$。因此：
\[\frac{f(u)}{h(u)} = f(u)w(u) = (fw)(u)\]再对 $fw$ 除以 $g$ 做带余除法：
\[fw = qg + r,\quad \deg(r) < m\]代入 $u$ 后得到：
\[f(u)w(u) = r(u)\]所以任意元素都可表示为 $r(u)$，其中 $\deg(r) < m$。
若 $r_1(u) = r_2(u)$，则 $(r_1-r_2)(u) = 0$。由极小多项式的整除性，$g \mid (r_1-r_2)$。但 $\deg(r_1-r_2) < m = \deg(g)$，只能 $r_1-r_2 = 0$。
因此 $\{1,u,u^2,\ldots,u^{m-1}\}$ 既生成 $F(u)$，又线性无关，构成 $F(u)$ 作为 $F$ 上向量空间的一组基。
与超越元的对比：若 $u$ 是超越元，则 $F(u)$ 是无限维的，其元素形式为有理分式 $\frac{f(u)}{h(u)}$，一般无法化为有限次多项式形式。代数元的情况因极小多项式约束而可以简化。
三、同构定理与商环视角
3.1 环同态与商环
设 $u \in E$ 是 $F$ 上的代数元，$g$ 是其极小多项式。以 $u$ 为零点的 $F$ 上多项式恰为 $g$ 的倍数：
\[\{f \in F[X] \mid f(u) = 0\} = (g) = \{gh \mid h \in F[X]\}\]定义映射：
\[\phi: F[X] \to F(u),\quad \phi(f) = f(u)\]则：
- $\phi$ 是环同态。
- $\ker(\phi) = (g)$。
- $\operatorname{Im}(\phi) = F(u)$。
由环同态基本定理：
\[F[X]/(g) \cong F(u)\]这给出了从商环角度理解域扩张的方法：通过多项式环模掉极小多项式生成的理想，得到扩域。
四、有限域的构造
4.1 基本有限域
最简单的有限域是 $\mathbb{F}_2 = \{0,1\}$，在模 2 加法和乘法下构成域。
4.2 通过商环构造有限域
设 $g \in \mathbb{F}_2[X]$ 是 $m$ 次不可约多项式，则：
\[\mathbb{F}_{2^m} = \mathbb{F}_2[X]/(g)\]是一个有 $2^m$ 个元素的有限域。
商环中的元素可表示为：
\[\{r+(g) \mid r \in \mathbb{F}_2[X],\ \deg(r) < m\}\]次数小于 $m$ 的 $\mathbb{F}_2$ 上多项式形如：
\[a_0 + a_1X + \cdots + a_{m-1}X^{m-1}\]其中每个 $a_i \in \{0,1\}$，共有 $2^m$ 种选择。
4.3 不可约多项式的判定
判定定理：
- 若 $f \in F[X]$ 次数 $\geq 2$ 且在 $F$ 上不可约，则 $f$ 在 $F$ 上无零点。
-
若 $f \in F[X]$ 次数为 2 或 3，则：
\[f \text{ 不可约} \Longleftrightarrow f \text{ 在 } F \text{ 上无零点}\]
例子：$f(X)=X^2+X+1 \in \mathbb{F}_2[X]$。
检验：
- $f(0) = 1 \neq 0$。
- $f(1) = 1+1+1 = 1 \neq 0$（模 2）。
所以 $f$ 在 $\mathbb{F}_2$ 上无零点，因此不可约，可用于构造：
\[\mathbb{F}_4 = \mathbb{F}_2[X]/(X^2+X+1)\]4.4 寻找不可约多项式
在 $\mathbb{F}_2$ 上，多项式 $X^{2^m}-X$ 可以分解为：
\[X^{2^m}-X = \prod_{g \in T} g\]其中 $T$ 是 $\mathbb{F}_2$ 上所有次数整除 $m$ 的首一不可约多项式的集合。
通过分解这个多项式，可以找到给定次数相关的不可约多项式。
4.5 不同不可约多项式的影响
若取不同的 $m$ 次不可约多项式 $g_1$ 和 $g_2$，则：
\[\mathbb{F}_2[X]/(g_1) \cong \mathbb{F}_2[X]/(g_2)\]从代数结构看，它们同构；从计算实现看，选择不同的不可约多项式可能影响运算效率，尤其是带余除法的复杂度。
五、域的特征
5.1 定义
设 $R$ 是有单位元的环，$1_R$ 是乘法单位元。考虑 $1_R$ 在加法群 $(R,+)$ 中的阶。
环的特征（characteristic）定义为：
\[\operatorname{char}(R)= \begin{cases} n & \text{如果 } \underbrace{1_R+1_R+\cdots+1_R}_{n \text{ 个}}=0,\ n \text{ 最小}\\ 0 & \text{如果 } 1_R \text{ 的阶是无穷} \end{cases}\]对 $a \in R$、$m \in \mathbb{N}$，记：
\[ma = \underbrace{a+a+\cdots+a}_{m \text{ 个}}\]5.2 基本性质
性质 1：若 $\operatorname{char}(R)=m$，则对任意 $a \in R$：
\[ma = 0\]因为：
\[ma = a(1+\cdots+1)=a \cdot 0 = 0\]性质 2：若 $R$ 是整环且 $\operatorname{char}(R) \neq 0$，则 $\operatorname{char}(R)$ 必为素数。
若 $\operatorname{char}(R)=m=pq$，其中 $1<p,q<m$，则：
\[0 = m1_R = (p1_R)(q1_R)\]由于 $R$ 是整环，$p1_R=0$ 或 $q1_R=0$，与 $m$ 的极小性矛盾。
5.3 有限域的特征
定理：若 $E$ 是有限域，则 $\operatorname{char}(E)=p$，其中 $p$ 是素数。
证明思路：
- 域是整环，所以特征要么是素数，要么是 0。
- 因为 $E$ 有限，所以 $1_E$ 在加法群中的阶有限。
- 因此特征不能为 0，必为素数。
5.4 有限域的结构定理
设 $E$ 是有限域，$\operatorname{char}(E)=p$。则：
-
$E$ 包含子域：
\[\mathbb{F}_p = \{m1_E \mid m=0,1,\ldots,p-1\}\] - $\mathbb{F}_p \cong \mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$。
- $E$ 作为 $\mathbb{F}_p$ 上的向量空间是有限维的。设 $[E:\mathbb{F}_p]=n$。
- $|E|=p^n$。
推论：
- 有限域的元素个数必为素数的幂。
- 对任意素数 $p$ 和正整数 $n$，存在元素个数为 $p^n$ 的有限域。
- 元素个数相同的有限域彼此同构。
六、除环与有限群
6.1 除环的定义
除环（division ring）或斜域（skew field）是满足以下条件的环：
- 有单位元。
- 乘法满足结合律。
- 每个非零元素有乘法逆元。
- 不要求乘法交换律。
域是交换的除环。
例子：四元数（quaternions）$\mathbb{H}$ 是无限除环。
6.2 Wedderburn 定理
Wedderburn 定理：任何有限除环都是域。
也就是说，有限除环的乘法会自动满足交换律。
6.3 相关的群论结果
结果 1：有限半群若有消去律，则它是群。
消去律导出左乘或右乘运算是单射。在有限集合上，单射即双射，因此可以得到逆元。
结果 2：整环 $R$ 的非零元素在乘法下有消去律。
若 $ab=ac$ 且 $a \neq 0$，则：
\[a(b-c)=0\]因为 $R$ 是整环，所以 $b-c=0$，即 $b=c$。
结果 3：若 $G$ 是有限群且 $|G|=p$，其中 $p$ 是素数，则：
- $G$ 的子群只有 $\{e\}$ 和 $G$ 本身。
- $G$ 是循环群。
- $G$ 是交换群。
- $G \cong \mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$。
七、总结
极小多项式控制代数元生成的扩域结构：若极小多项式次数为 $m$，则 $F(u)$ 中每个元素都能唯一表示为次数小于 $m$ 的多项式在 $u$ 处的取值，并且 $[F(u):F]=m$。从商环角度看，有 $F[X]/(g)\cong F(u)$。
有限域可以通过不可约多项式构造，$\mathbb{F}_p[X]/(g)$ 在 $g$ 不可约时给出有限域。域的特征解释了有限域为何必含有素域 $\mathbb{F}_p$，并导出有限域元素个数必为素数幂。